《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

10. 如图,两条抛物线 $ y_1 = -\frac{1}{2}x^2 $、$ y_2 = -\frac{1}{2}x^2 - 2 $ 与分别经过点 $ (-2, 0) $、$ (2, 0) $ 且平行于 $ y $ 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为8.
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答案： 8

11. (原创题)已知抛物线 $ y = x^2 + (m - 2)x - 2m $.
(1)当顶点在 $ y $ 轴上时,求 $ m $ 的值；
(2)在(1)的条件下,写出此抛物线的对称轴和顶点坐标.

答案：
(1)解:
∵抛物线$y=x^{2}+(m-2)x-2m$的顶点在y轴上,$\therefore m-2=0$.解得$m=2$.
(2)当$m=2$时,抛物线的解析式为$y=x^{2}-4$,故其对称轴为y轴,顶点坐标为(0,-4).

12. 已知函数 $ y = 2x $ 的图象和抛物线 $ y = ax^2 + 3 $ 相交于点 $ (2, b) $.
(1)求 $ a $,$ b $ 的值；
(2)若函数 $ y = 2x $ 的图象上纵坐标为 2 的点为 $ A $,抛物线 $ y = ax^2 + 3 $ 的顶点为 $ B $,求 $ \triangle AOB $ 的面积.

答案：
(1)解:把(2,b)代入$y=2x$,得$2×2=b,\therefore b=4$.把(2,4)代入$y=ax^{2}+3$,得$a×2^{2}+3=4,\therefore a=\frac {1}{4}$.
(2)把$y=2$代入$y=2x$,得$2x=2,\therefore x=1,\therefore A(1,2)$.抛物线$y=ax^{2}+3$的顶点坐标为(0,3).$\therefore S_{\triangle AOB}=\frac {1}{2}×3×1=\frac {3}{2}$.

13. 如图①,抛物线 $ y = -x^2 + m $ 的顶点 $ C $ 在 $ y $ 轴正半轴上,与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点($ A $ 点在 $ B $ 点左边),$ OA = OC $.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②,点 $ P $ 在第四象限,点 $ Q $ 在第二象限,且 $ AP // BQ $,若四边形 $ APBQ $ 的面积为 2,求直线 $ AP $ 的解析式.
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答案：
(1)解:
∵抛物线$y=-x^{2}+m$的顶点C在y轴正半轴上,$\therefore C(0,m)$,且$m＞0.\therefore OC=m.\because OA=OC,\therefore OA=m.\therefore A(-m,0).\therefore 0=-m^{2}+m$,解得$m=0$(舍)或1.$\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^{2}+1$.
(2)由抛物线的解析式可知$A(-1,0),B(1,0)$.设直线AP的解析式为$y=k(x+1)=kx+k,\because AP// BQ$,
∴直线BQ的解析式为$y=k(x-1)=kx-k$.联立$\left\{\begin{array}{l} y=kx+k,\\ y=-x^{2}+1,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=-1,\\ y=0\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} x=-k+1,\\ y=-k^{2}+2k,\end{array}\right. $$\therefore P(-k+1,-k^{2}+2k)$.同理,可得$Q(-k-1,-k^{2}-2k)$.$\because$四边形APBQ的面积为2,$\therefore S=S_{\triangle ABQ}+S_{\triangle ABP}=\frac {1}{2}×2(-k^{2}-2k)+\frac {1}{2}×2(k^{2}-2k)=2$,解得$k=-\frac {1}{2}$.$\therefore$直线AP的解析式为$y=-\frac {1}{2}x-\frac {1}{2}$.