《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

1. 如图,二次函数$y = (x + 2)^2 + m的图象与y轴交于点C$,点$B$在抛物线上,且与点$C$关于抛物线的对称轴对称,已知一次函数$y = kx + b的图象经过该二次函数图象上的点A(-1, 0)及点B$。
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)在对称轴上求作一点$P$,使$PA + PC$最小,并求点$P$的坐标。

答案：
(1)解:把点$A(-1,0)$代入$y=(x + 2)^{2}+m$中，得$m = - 1$，$\therefore y=(x + 2)^{2}-1$，令$x = 0$，得$y = 3$。$\therefore$点C的坐标是$(0,3)$。$\because$对称轴是直线$x = - 2$，点B与点C关于对称轴对称，$\therefore B(-4,3)$，把$A(-1,0)$，$B(-4,3)$代入$y = kx + b$中，得$\begin{cases}-k + b = 0\\-4k + b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - 1\\b = - 1\end{cases}$，$\therefore y = - x - 1$，$\therefore$二次函数解析式是$y=(x + 2)^{2}-1$，一次函数解析式是$y = - x - 1$。　
(2)由题意可知点B和点C关于直线$x = - 2$对称，故直线AB与直线$x = - 2$的交点即为点P，当$x = - 2$时，$y = - x - 1=-(-2)-1 = 1$，$\therefore$点P坐标是$(-2,1)$。

2. (自贡市中考节选)如图,在平面直角坐标系中,已知点$B的坐标为(-1, 0)$,且$OA = OC = 4OB$,抛物线$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)图象经过A$,$B$,$C$三点。
(1)求$A$,$C$两点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)若点$P是直线AC$下方的抛物线上的一个动点,作$PD \perp AC于点D$,当$PD$取值最大时,求此时点$P的坐标及PD$的最大值。

答案：
(1)解:$\because B(-1,0)$，$\therefore OB = 1$。又$\because OA = OC = 4OB$，$\therefore OA = OC = 4$，$\therefore A(4,0)$，$C(0,-4)$。　
(2)将A、B、C三点坐标代入$y = ax^{2}+bx + c$，得$\begin{cases}16a + 4b + c = 0\\a - b + c = 0\\c = - 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = - 3\\c = - 4\end{cases}$，$\therefore$抛物线的解析式为$y = x^{2}-3x - 4$。　
(3)过点P作$PE\perp x$轴交AC于点E，$\therefore PE// y$轴。$\because OA = OC$，$\therefore \angle PED = \angle OCA = 45^{\circ}$，$\therefore \triangle DEP$为等腰直角三角形，$\therefore PD=\frac{\sqrt{2}}{2}PE$，$\therefore$当PE取得最大值时，PD取得最大值，易得直线AC的解析式为$y = x - 4$，设$P(x,x^{2}-3x - 4)$，则$E(x,x - 4)$，则$PE=(x - 4)-(x^{2}-3x - 4)=-x^{2}+4x=-(x - 2)^{2}+4$，$\because 0＜x＜4$，$\therefore$当$x = 2$时，PE取得最大值，最大值为4，此时PD取得最大值，最大值为$4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，$\therefore$点P坐标为$(2,-6)$。