《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

7. 一隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的,隧道宽$BC = 10m$,矩形部分高$AB = 3m$,抛物线的最高点E离地面$OE = 6m$,如图所示,以直线BC为x轴,直线OE为y轴建立平面直角坐标系。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 如果该隧道内设有双车道,现有一辆货运卡车高4.5m、宽3m,那么这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？

答案：
(1)解:设抛物线的解析式为$ y=ax^2+c $,
∵点$ E(0,6) $,$ A(-5,3) $在此抛物线上,
∴$ \begin{cases} c=6, \\ 25a+c=3, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a=-\frac{3}{25}, \\ c=6. \end{cases} $
∴此抛物线的解析式为$ y=-\frac{3}{25}x^2+6 $.
(2)当$ x=±3 $时,$ y=-\frac{3}{25}×9+6=4.92＞4.5 $.
∴这辆货运卡车能顺利通过隧道.

8. (核心素养·应用意识)如图,已知排球场的长度OD为18米,位于球场中线处的球网AB的高度为2.24米,一队员站在点O处发球,排球从点O的正上方2米的C点向正前方飞去,排球的飞行路线是抛物线的一部分,当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时,到达最高点G,以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系。
(1) 若排球运行的最大高度为2.8米,直接写出排球飞行的高度p(单位：米)与水平距离x(单位：米)之间的函数关系式(不要求写自变量x的取值范围)；
(2) 在(1)的条件下,这次所发的球能够过网吗？如果能够过网,是否会出界？请说明理由；
(3) 若该队员发球要想过网,又使排球不会出界(排球压线属于没出界),求抛物线的解析式中二次项系数的最大值。

答案：
(1)解:$ p=-\frac{1}{45}(x-6)^2+2.8 $.
(2)能够过网,不会出界.理由:当$ x=9 $时,$ p=-\frac{1}{45}(9-6)^2+2.8=2.6＞2.24 $,当$ x=18 $时,$ p=-\frac{1}{45}(18-6)^2+2.8=-0.4＜0 $.故这次发球能够过网且不会出界.
(3)设抛物线的解析式为$ p=a(x-6)^2+2.8 $.根据题意,不出边界时有$ a(18-6)^2+2.8 \leqslant 0 $,解得$ a \leqslant -\frac{1}{54} $.要使排球过网,则有$ a(9-6)^2+2.8 \geqslant 2.24 $.解得$ a \leqslant -\frac{2}{225} $.即$ a \leqslant -\frac{1}{54} $.故抛物线的解析式中二次项系数的最大值为$ -\frac{1}{54} $.

【变式1】某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)之间的函数关系式是$y = 40x - 2x^2$,该型号飞机着陆后需滑行200m才能停下来。

答案： 200

【变式2】飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数解析式是$s = 60t - \frac{3}{2}t^2$,则飞机着陆后滑行的最长时间为20秒。
【拓展】在变式2的基础上,飞机在着陆滑行的过程中,最后10秒滑行的距离为150米。

答案： 20
@@150