《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

12. 关于$x的一元二次方程x^2 + 2(m - 1)x + m^2 = 0的两个实数根分别为x_1,x_2$,且$x_1 + x_2 ＞ 0,x_1x_2 ＞ 0$,则$m$的取值范围是(B)
A.$m \leq \frac{1}{2}$
B.$m \leq \frac{1}{2}且m ≠ 0$
C.$m ＜ 1$
D.$m ＜ 1且m ≠ 0$

答案： B

13. (原创题)已知关于$x的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0$,由于王同学看错了二次项系数,误求得方程的两个根为$2和4$,那么$\frac{b}{c} = $$-\frac{3}{4}$。

答案： $-\frac{3}{4}$

14. 已知关于$x的方程x^2 - 2x + m = 0有两个不相等的实数根x_1,x_2$。
(1)求实数$m$的取值范围；
(2)若$x_1 - x_2 = 2$,求实数$m$的值。

答案：
(1)解:$\because$该方程有两个不相等的实数根,$\therefore\Delta=(-2)^{2}-4×1× m=4-4m＞0$,解得$m＜1$,即实数$m$的取值范围是$m＜1$.
(2)由根与系数的关系得$x_{1}+x_{2}=2$,即$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=2,\\x_{1}-x_{2}=2,\end{cases}$解得$x_{1}=2$,$x_{2}=0$,由根与系数的关系得$m=2×0=0$.

15. (核心素养·运算能力)已知关于$x的方程x^2 - (k + 2)x + 2k = 0$。
(1)求证：无论$k$取任何实数,方程总有实数根；
(2)若$Rt\triangle ABC斜边长a = 3$,另两边长$b,c$恰好是这个方程的两个根,求$\triangle ABC$的周长。

答案：
(1)证明:$\Delta=(k+2)^{2}-8k=(k-2)^{2}\geq0$,$\therefore$无论$k$取任何实数,方程总有实数根.
(2)解:$\becauseRt\triangle ABC$斜边长$a=3$,另两边长$b$,$c$恰好是这个方程的两个根,$\therefore a^{2}=b^{2}+c^{2}$,则$9=(b+c)^{2}-2bc$,$9=(k+2)^{2}-2×2k$,解得$k=\pm\sqrt{5}$,$\therefore b+c=2+k=2+\sqrt{5}$(不可能取负数),故$\triangle ABC$的周长为$C=a+b+c=5+\sqrt{5}$.

【例】已知$a,b是方程x^2 - 3x - 5 = 0$的两根,求代数式$2a^3 - 6a^2 + b^2 + 7b + 1$的值,请补全解答过程：
解：$\because a,b是方程x^2 - 3x - 5 = 0$的两根,
$\therefore a^2 - 3a - 5 = 0,b^2 - 3b - 5 = 0,a + b = 3$。
$\therefore a^2 - 3a = $5,$b^2 = 5 + 3b$。
$\therefore 2a^3 - 6a^2 + b^2 + 7b + 1$
$= 2a(a^2 - 3a) +$$3b+5$$+ 7b + 1$
$=$10$a +$10$b + 6$
$=$10$(a + b) + 6$
$=$10$× 3 + 6$
$=$36。

答案： 5 $3b+5$ 10 10 10 10 36

1. 一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0的两个根为x_1,x_2$,则$x_1^2 + 3x_2 + x_1x_2 - 2$的值是(D)
A.10
B.9
C.8
D.7

答案： D

2. 已知$\alpha,\beta是方程x^2 - x - 1 = 0$的两个实数根,则$\alpha^4 + 3\beta$的值是(C)
A.4
B.$4\sqrt{2}$
C.5
D.$5\sqrt{2}$

答案： C

3. (巴中市中考)$\alpha,\beta是关于x的方程x^2 - x + k - 1 = 0$的两个实数根,且$\alpha^2 - 2\alpha - \beta = 4$,则$k$的值为-4。

答案： -4