《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

本章思维导图

答案： ①$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$；②直接开平方法；③配方法；④公式法（或因式分解法）。

1. 下列方程中,是一元二次方程的是(A)
A.$x^2 = 0$
B.$3x + 2y = 7$
C.$x^2 - 2x + 1 ＞ 0$
D.$\frac{1}{x} = x + 2$

答案： A

2. (广东省中考)若 $x = 1$ 是方程 $x^2 - 2x + a = 0$ 的根,则 $a = $1。

答案： 1

3. 下列方程中,用因式分解法求解较为简便的是(C)
A.$x^2 - 5x - 1 = 0$
B.$x^2 - 2x - 1 = 0$
C.$5x^2 = x$
D.$(x + 2)(x - 1) = -3$

答案： C

4. 用配方法解一元二次方程 $x^2 - 6x + 8 = 0$,配方后得到的方程是(D)
A.$(x + 6)^2 = 28$
B.$(x - 6)^2 = 28$
C.$(x + 3)^2 = 1$
D.$(x - 3)^2 = 1$

答案： D

5. (新定义)对于实数 a,b,定义新运算“◎”如下：$a◎b = (a + b)^2 - (a - b)^2$。若 $(m + 2)◎(m - 3) = 24$,则 $m = $−3或4。

答案： −3或4

6. 解下列方程：
(1)$3x(x - 2) = x - 2$；
(2)$x^2 - 5 = 2(x + 1)$。

答案：
(1)解:原方程可化为3x(x−2)−(x−2)=0,
∴(x−2)(3x−1)=0,
∴x₁=2,x₂=$\frac{1}{3}$.　
(2)解:x²−2x−7=0,
∴Δ=b²−4ac=4+28=32＞0,
∴x=$\frac{2±\sqrt{32}}{2}$=1±2$\sqrt{2}$,
∴x₁=1+2$\sqrt{2}$,x₂=1−2$\sqrt{2}$.

7. (烟台市中考)已知关于 x 的一元二次方程 $x^2 - mnx + m + n = 0$,其中 m,n 在数轴上的对应点如图所示,则这个方程的根的情况是(A)

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定

答案： A

8. 已知关于 x 的一元二次方程 $x^2 - 2(a - 1)x + a^2 - a - 2 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_1$,$x_2$。
(1)若 a 为正整数,求 a 的值；
(2)若 $x_1$,$x_2$ 满足 $x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 16$,求 a 的值。

答案：
(1)解:
∵关于x的一元二次方程x²−2(a−1)x+a²−a−2=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=[−2(a−1)]²−4(a²−a−2)＞0,解得a＜3,
∵a为正整数,
∴a=1,2.　
(2)
∵x₁+x₂=2(a−1),x₁x₂=a²−a−2,x₁²+x₂²−x₁x₂=16,
∴(x₁+x₂)²−3x₁x₂=16,
∴[2(a−1)]²−3(a²−a−2)=16,解得a₁=−1,a₂=6,
∵a＜3,
∴a=−1.