《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

1. 如图,$A$,$B是\odot O$上两点,且$AB = OA$,连接$OB并延长到点C$,使$BC = OB$,连接$AC$。求证：$AC是\odot O$的切线。

答案： 证明：
∵ AB=OA，OA=OB，
∴ AB=OA=OB.
∴△AOB为等边三角形.
∴∠OAB=60°，∠OBA=60°.
∵ BC=OB，
∴ BC=AB.
∴∠C=∠CAB. 又
∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB，
∴∠C=∠CAB=30°.
∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°.
∴ AC是⊙O的切线.

2. 如图,$AB是\odot O$的直径,$C是\odot O上异于A$、$B$的点,连接$AC$、$BC$,点$D在BA$的延长线上,且$\angle DCA = \angle ABC$。求证：$DC是\odot O$的切线。

答案： 证明：连接OC.
∵ AB是直径，
∴∠ACB=90°.
∵ OC、OB是⊙O的半径，
∴ OC=OB，
∴∠OCB=∠ABC. 又
∵∠DCA=∠ABC，
∴∠DCA=∠OCB，
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，
∴ OC⊥DC. 又
∵ OC是⊙O的半径，
∴ DC是⊙O的切线.

3. (衢州市中考节选)如图,在$\triangle ABC$中,$CA = CB$,$BC与\odot A相切于点D$,过点$A作AC的垂线交CB的延长线于点E$,交$\odot A于点F$,连接$BF$。求证：$BF是\odot A$的切线。

答案： 证明：连接AD.
∵ CA=CB，
∴∠CAB=∠ABC.
∵ AE⊥AC，
∴∠CAB+∠BAE=90°.
∵ BC与⊙A相切于点D，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠BAD. 在△ABF和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}AB=AB,\\ ∠BAE=∠BAD,\\ AF=AD,\end{array}\right.$
∴△ABF≌△ABD(SAS)，
∴∠AFB=∠ADB=90°，
∴ BF是⊙A的切线.

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,以$AC为直径作\odot O交BC于点D$,过点$D作DE\perp AB$,垂足为点$E$,延长$BA交\odot O于点F$。求证：$DE是\odot O$的切线。

答案： 证明：连接OD.
∵ OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC.
∵ AB=AC，
∴∠B=∠OCD，
∴∠B=∠ODC，
∴ OD//AB.
∵ DE⊥AB，
∴ DE⊥OD.
∴ DE是⊙O的切线.