《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

4. 设$x_1,x_2是方程x^2 - x - 2024 = 0$的两个实数根,试求$x_1^3 + 2025x_2 - 2024$的值。

答案： 解:$\because x_{1}$,$x_{2}$是方程$x^{2}-x-2024=0$的两个实数根,$\therefore x_{1}+x_{2}=1$,$x_{1}^{2}-x_{1}-2024=0$.$\therefore x_{1}^{2}=x_{1}+2024$.$\therefore$原式$=x_{1}(x_{1}+2024)+2025x_{2}-2024=x_{1}^{2}+2024x_{1}+2025x_{2}-2024=x_{1}+2024+2024x_{1}+2025x_{2}-2024=2025(x_{1}+x_{2})=2025$.

5. (十堰市中考)已知关于$x的一元二次方程为x^2 - 2x - 3m^2 = 0$。
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为$\alpha,\beta$,且$\alpha + 2\beta = 5$,求$m$的值。

答案：
(1)证明:$\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×(-3m^{2})=4+12m^{2}$.$\because12m^{2}\geq0$,$\therefore4+12m^{2}＞0$,$\therefore$该方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:$\because$方程的两个实数根分别为$\alpha$,$\beta$,由根与系数的关系可知,$\alpha+\beta=2$,$\alpha\beta=-3m^{2}$.$\because\alpha+2\beta=5$,$\therefore\alpha=5-2\beta$,$\therefore5-2\beta+\beta=2$,解得$\beta=3$,$\therefore\alpha=5-2×3=-1$,$\therefore-3m^{2}=-1×3=-3$,解得$m=\pm1$.

6. 已知关于$x的一元二次方程x^2 = 2(1 - m)x - m^2的两实数根为x_1,x_2$。
(1)求$m$的取值范围；
(2)设$y = x_1 + x_2$,当$y$取得最小值时,求相应$m$的值,并求出最小值。

答案：
(1)解:将原方程整理为$x^{2}+2(m-1)x+m^{2}=0$.$\because$原方程有两个实数根,$\therefore\Delta=[2(m-1)]^{2}-4m^{2}=-8m+4\geq0$,解得$m\leq\frac{1}{2}$.
(2)$\because x_{1}$,$x_{2}$为$x^{2}+2(m-1)x+m^{2}=0$的两根,$\therefore x_{1}+x_{2}=-2m+2$,$\therefore y=x_{1}+x_{2}=-2m+2$,由一次函数的性质知$y$随$m$的增大而减小,又$\because m\leq\frac{1}{2}$,故当$m=\frac{1}{2}$时,$y$取得最小值为1.

7. 设$a,b,c是\triangle ABC$的三边长,关于$x的方程x^2 + 2\sqrt{b}x + 2c - a = 0$有两个相等的实数根,方程$3cx + 2b = 2a的根为0$。
(1)求证：$\triangle ABC$为等边三角形；
(2)若$a,b为方程x^2 + mx - 3m = 0$的两根,求$m$的值。

答案：
(1)证明:$\because$关于$x$的方程$x^{2}+2\sqrt{b}x+2c-a=0$有两个相等的实数根,$\therefore\Delta=(2\sqrt{b})^{2}-4×(2c-a)=0$,可得$a+b=2c$.$\because$方程$3cx+2b=2a$的根为0,$\therefore2b=2a$,$\therefore a=b$,$\therefore2a=2c$,$\therefore a=c$,$\therefore a=b=c$,故$\triangle ABC$为等边三角形.
(2)解:由
(1)知$a=b$,$\therefore$方程$x^{2}+mx-3m=0$有两个相等的实数根,$\therefore\Delta=m^{2}-4×1×(-3m)=m^{2}+12m=0$,$\therefore m(m+12)=0$,$\therefore m=0$或-12.当$m=0$时,$a=b=0$(不合题意,舍去),$\therefore m=-12$.