《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

【变式】 已知点 $ (1,y_{1}) $,$ (-2,y_{2}) $ 都在函数 $ y = ax^{2}(a ＜ 0) $ 的图象上,则$ y_{1}＞y_{2} $.

答案： $ y_{1}＞y_{2} $

9. 当 $ ab ＞ 0 $ 时,$ y = ax^{2} $ 与 $ y = ax + b $ 的图象大致是(D)

答案： D

10. (原创题)二次函数 $ y = mx^{m^{2} - 1} $,若在其图象的对称轴的左侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,则下列各点不可能在其图象上的是(D)
A.$ (1,-\sqrt{3}) $
B.$ (-1,-\sqrt{3}) $
C.$ (0,0) $
D.$ (-1,\sqrt{3}) $

答案： D

11. (数形结合)若二次函数 $ y = (2m - 1)x^{2} $ 和 $ y = \frac{1}{2}x^{2} $ 的图象如图所示,则 $ m $ 的取值范围为$ m＞\frac{3}{4} $.

答案： $ m＞\frac{3}{4} $

12. 根据下列条件分别写出 $ a $ 的取值范围.
(1)抛物线 $ y = (a + 2)x^{2} $ 与 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 的形状相同,开口向下；
(2)函数 $ y = ax^{a^{2} + a} $ 的图象是开口向上的抛物线；
(3)函数 $ y = (a - 2)x^{2} $,当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；
(4)函数 $ y = (3a - 2)x^{2} $ 有最大值.

答案：
(1)解:$ a=-\frac{5}{2} $;
(2)$ a=1 $;
(3)$ a＜2 $;
(4)$ a＜\frac{2}{3} $.

13. 求直线 $ y = 3x + 4 $ 与抛物线 $ y = x^{2} $ 的交点坐标,并求出以两交点和原点为顶点的三角形的面积.

答案：
解:由题意,得$ \begin{cases} y=3x+4, \\ y=x^{2}, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x=4, \\ y=16 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x=-1, \\ y=1, \end{cases} $
∴直线 $ y=3x+4 $ 与抛物线 $ y=x^{2} $ 的交点坐标为(4,16)和(-1,1).如图,A(4,16)、B(-1,1),连接 AO、BO,设AB 与 y 轴交于 C 点,易知点 C(0,4),则 $ OC=4 $,
∴$ S_{\triangle ABO}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}CO \cdot (|x_{A}|+|x_{B}|)=\frac{1}{2}×4×(4+1)=10$.

14. (核心素养·推理能力)如图,在平面直角坐标系中,点 $ A(2,4) $ 在抛物线 $ y = ax^{2} $ 上,过点 $ A $ 作 $ y $ 轴的垂线,交抛物线于另一点 $ B $. 点 $ C $,$ D $ 在线段 $ AB $ 上,分别过点 $ C $,$ D $ 作 $ x $ 轴的垂线交抛物线于 $ E $,$ F $ 两点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当四边形 $ CDFE $ 为正方形时,求线段 $ CD $ 的长.

答案：
(1)解:
∵点 A(2,4)在抛物线 $ y=ax^{2} $ 上,
∴$ 4=4a $,解得 $ a=1 $.
∴抛物线的解析式为 $ y=x^{2} $.
(2)
∵四边形 CDFE为正方形,
∴$ CD// EF $,$ CD=EC=EF $.又
∵$ AB\perp y $轴,
∴$ EF\perp y $轴,即 $ EF// x $轴.设点 E 的横坐标为 $ m(m＞0) $,
∵点 E 在抛物线上,
∴$ E(m,m^{2}) $.
∴$ EF=2m $.又
∵$ AB\perp y $轴,$ CE\perp x $轴,A(2,4),
∴$ C(m,4) $.
∴$ EC=4-m^{2} $.
∵$ EC=EF $,
∴$ 4-m^{2}=2m $.解得 $ m_{1}=-1-\sqrt{5} $(舍去),$ m_{2}=-1+\sqrt{5} $.
∴$ CD=EF=2m=-2+2\sqrt{5} $.