《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版安徽专版》

10. 在同一直角坐标系中,一次函数 $ y = ax + c $ 和二次函数 $ y = a(x + c)^2 $ 的图象大致为(B)
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答案： B

11. 若抛物线 $ y = 2(x - 1)^2 $ 经过 $ (m, n) $ 和 $ (m + 3, n) $ 两点,则 $ n $ 的值为(A)
A.$ \frac{9}{2} $
B.$ -\frac{9}{2} $
C.1
D.$ -\frac{1}{2} $

答案： A

12. (徐州市中考)已知二次函数的图象经过点 $ P(2, 2) $,顶点为 $ O(0, 0) $,将该图象向右平移,当它再次经过点 $ P $ 时,所得抛物线的函数解析式为 $ y=\frac{1}{2}(x-4)^2 $。

答案： $ y=\frac{1}{2}(x-4)^2 $

13. (原创题)一条抛物线经过点 $ (1, 3) $,若将它向右平移2个单位长度,顶点移到原点。
(1)求该抛物线的解析式；
(2)$ x $ 取何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？$ x $ 取何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？

答案：
(1)解:由题意知,抛物线顶点为(-2,0),
∴设抛物线的解析式为 $ y=a(x+2)^2 $,又
∵抛物线过点(1,3),
∴$ 3=9a $,
∴$ a=\frac{1}{3} $,
∴$ y=\frac{1}{3}(x+2)^2 $.
(2)
∵抛物线 $ y=\frac{1}{3}(x+2)^2 $ 的对称轴为直线 $ x=-2 $,
∴当 $ x＞-2 $ 时,y随x的增大而增大;当 $ x＜-2 $ 时,y随x的增大而减小.

14. 如图,正方形 $ ABCD $ 的顶点 $ A $ 在抛物线 $ y = x^2 $ 上,顶点 $ B $,$ C $ 在 $ x $ 轴的正半轴上,且点 $ B $ 的坐标为 $ (1, 0) $。
(1)求点 $ D $ 坐标；
(2)将抛物线 $ y = x^2 $ 沿 $ x $ 轴方向适当平移,使得平移后的抛物线经过点 $ B $,求平移后抛物线的解析式,并说明你是如何平移的。此时点 $ D $ 在新抛物线上吗？
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答案：
(1)解:
∵B(1,0),点A在抛物线 $ y=x^2 $ 上,
∴A(1,1).又
∵正方形ABCD中,AD=AB=1,
∴D(2,1).
(2)
∵原抛物线 $ y=x^2 $ 经过点O(0,0),
∴原抛物线向右平移1个单位得到的抛物线为 $ y=(x-1)^2 $ 经过点B(1,0).令 $ x=2 $,$ y=(2-1)^2=1 $,故点D(2,1)在新抛物线上.

15. (核心素养·运算能力)如图,抛物线 $ y = a(x + 1)^2 $ 的顶点为 $ A $,与 $ y $ 轴的负半轴交于点 $ B $,且 $ OB = OA $。
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 $ C(-3, b) $ 在此抛物线上,求 $ \triangle ABC $ 的面积。
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答案：
(1)解:易得A(-1,0)、B(0,-1).将(0,-1)代入 $ y=a(x+1)^2 $,得 $ a=-1 $,
∴抛物线的解析式为 $ y=-(x+1)^2 $.
(2)令 $ x=-3 $,解得 $ b=-4 $,
∴C(-3,-4).连接OC,$ S_{\triangle ABC}=S_{\triangle OAC}+S_{\triangle OBC}-S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}×1×4+\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×1×1=3 $.