《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

11. 分解因式:
(1)$(x - y)^{2}+6(x - y)+9$；
(2)$(x - y)^{2}+4xy$.

答案：
(1)
$\begin{aligned} &(x - y)^{2}+6(x - y)+9 \\ =&(x - y)^{2}+2×3×(x - y)+3^{2} \\ =&[(x - y)+3]^{2} \\ =&(x - y + 3)^{2} \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} &(x - y)^{2}+4xy \\ =&x^{2}-2xy + y^{2}+4xy \\ =&x^{2}+2xy + y^{2} \\ =&(x + y)^{2} \end{aligned}$

12. 如图,这三种规格的卡片共有9张,其中边长为$a$的正方形卡片有4张,边长为$b$的正方形卡片有1张,长、宽分别为$a,b$的长方形卡片有4张.现要用这9张卡片拼成一个大正方形,则这个大正方形的边长为$2a+b$.

答案： $2a+b$

13. 已知$a,b,c分别是\triangle ABC$的三边长.
(1)分别将多项式$ac - bc$,$-a^{2}+2ab - b^{2}$进行因式分解；
(2)若$ac - bc= -a^{2}+2ab - b^{2}$,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由.

答案：
(1)
对于$ac - bc$：
$ac - bc=c(a - b)$
对于$-a^{2}+2ab - b^{2}$：
$-a^{2}+2ab - b^{2}=-(a^{2}-2ab + b^{2})=-(a - b)^{2}$
(2)
因为$ac - bc=-a^{2}+2ab - b^{2}$，由
(1)可知$c(a - b)=-(a - b)^{2}$，移项可得$c(a - b)+(a - b)^{2}=0$，提取公因式$(a - b)$得$(a - b)(a - b + c)=0$。
因为$a,b,c$是三角形三边，根据三角形三边关系$a+b＞c$（这里$a - b + c$中$a + c＞b$，即$a - b + c＞0$）。
要使$(a - b)(a - b + c)=0$成立，且$a - b + c\neq0$，所以$a - b = 0$，即$a = b$。
所以$\triangle ABC$是等腰三角形。