《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

13. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,点$D在AB$上,点$E在AC$的延长线上,且$BD = CE$,$DE与BC相交于点F$. 求证$DF = EF$.

答案： 证明：过点D作DG//AC，交BC于点G。
∵DG//AC，
∴∠DGB=∠ACB（两直线平行，同位角相等），∠GDF=∠E（两直线平行，内错角相等），∠DGF=∠ECF（两直线平行，内错角相等）。
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB（等边对等角）。
∴∠DGB=∠B（等量代换）。
∴DG=BD（等角对等边）。
∵BD=CE，
∴DG=CE（等量代换）。
在△DGF和△ECF中，
∠GDF=∠E，
∠DGF=∠ECF，
DG=CE，
∴△DGF≌△ECF（AAS）。
∴DF=EF（全等三角形对应边相等）。

14. 如图,$BD是\triangle ABC$的角平分线,$DE// BC$,交$AB于点E$.
(1) 求证$\triangle BDE$是等腰三角形；
(2) 当$AB = AC$时,请判断$CD与ED$的大小关系,并说明理由.

答案：
(1)证明：
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD。
∵DE//BC，
∴∠EDB=∠CBD。
∴∠ABD=∠EDB，
∴EB=ED，即△BDE是等腰三角形。
(2)CD=ED。理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C。
∵DE//BC，
∴∠AED=∠ABC，∠ADE=∠C，
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD。
∵AB=AC，
∴AB-AE=AC-AD，即EB=CD。
由
(1)知EB=ED，
∴CD=ED。

15. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 80^{\circ}$,点$D在边BC$上运动(点$D不与点B$,$C$重合),连接$AD$,作$\angle ADE = 50^{\circ}$,$DE交边AC于点E$.
(1) 若$AB// DE$,求证$DE = CE$；
(2) 点$D$在运动过程中,$\triangle ADE$的形状可以是等腰三角形吗？若可以,请求出$\angle ADB$的度数；若不可以,请说明理由.

答案：
(1)
$\because AB = AC$，$\angle BAC = 80^{\circ}$，
$\therefore\angle B=\angle C=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-80^{\circ}) = 50^{\circ}$。
$\because AB// DE$，
$\therefore\angle B=\angle EDC = 50^{\circ}$（两直线平行，同位角相等）。
又$\because\angle ADE = 50^{\circ}$，
$\therefore\angle ADE=\angle EDC$。
在$\triangle ADE$中，$\angle AED = 180^{\circ}-\angle ADE-\angle DAE=180^{\circ}-50^{\circ}-80^{\circ}=50^{\circ}$，
$\therefore\angle AED=\angle EDC$，
$\therefore DE = CE$（等角对等边）。
(2)
可以，分三种情况：
①当$AD = AE$时，
$\angle AED=\angle ADE = 50^{\circ}$，
$\therefore\angle DAE = 180^{\circ}-2×50^{\circ}=80^{\circ}$，
$\because\angle BAC = 80^{\circ}$，
此时点$D$与点$B$重合，不符合题意，舍去。
②当$DA = DE$时，
$\angle DAE=\angle DEA = 180^{\circ}-\angle ADE - \angle DAE$（此处先求$\angle DEA$相关），
$\angle DEA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ADE)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-50^{\circ}) = 65^{\circ}$，
$\therefore\angle BAD=\angle BAC-\angle DAE=80^{\circ}-65^{\circ}=15^{\circ}$，
$\therefore\angle ADB = 180^{\circ}-\angle B-\angle BAD=180^{\circ}-50^{\circ}-15^{\circ}=115^{\circ}$。
③当$EA = ED$时，
$\angle ADE=\angle DAE = 50^{\circ}$，
$\angle AED = 180^{\circ}-2×50^{\circ}=80^{\circ}$，
$\therefore\angle BAD=\angle BAC-\angle DAE=80^{\circ}-50^{\circ}=30^{\circ}$，
$\therefore\angle ADB = 180^{\circ}-\angle B-\angle BAD=180^{\circ}-50^{\circ}-30^{\circ}=100^{\circ}$。
综上，$\triangle ADE$可以是等腰三角形，$\angle ADB$的度数为$100^{\circ}$或$115^{\circ}$。