《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

10. 先化简,再求值: $ (x - 2y)^{2}+(x - 2y)(x + 2y) $,其中 $ x = 2,y = -1 $.

答案： 16

11. 已知 $ a + b = 6,ab = 3 $,求下列各式的值.
(1) $ a^{2}+b^{2} $; (2) $ (a - b)^{2} $; (3) $ (a - 2)(b - 2) $.

答案：
(1)
由完全平方公式$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，可得$a^2 + b^2=(a + b)^2 - 2ab$。
把$a + b = 6$，$ab = 3$代入上式，得$a^2 + b^2=6^2 - 2×3=36 - 6 = 30$。
(2)
由完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2=a^2 + 2ab + b^2-4ab=(a + b)^2 - 4ab$。
把$a + b = 6$，$ab = 3$代入上式，得$(a - b)^2=6^2 - 4×3=36 - 12 = 24$。
(3)
先将$(a - 2)(b - 2)$展开，根据多项式乘法法则$(m+n)(p - q)=mp-mq+np - nq$，可得$(a - 2)(b - 2)=ab-2a - 2b + 4=ab-2(a + b)+4$。
把$a + b = 6$，$ab = 3$代入上式，得$(a - 2)(b - 2)=3-2×6 + 4=3-12 + 4=-5$。
综上，答案依次为：
(1)$30$；
(2)$24$；
(3)$-5$。

12. 阅读材料:若 $ m^{2}-2mn + 2n^{2}-8n + 16 = 0 $,求 $ m,n $ 的值.
解: $ \because m^{2}-2mn + 2n^{2}-8n + 16 = 0 $,
$ \therefore (m^{2}-2mn + n^{2})+(n^{2}-8n + 16)= 0 $.
$ \therefore (m - n)^{2}+(n - 4)^{2}= 0 $,
$ \because (m - n)^{2}\geq0,(n - 4)^{2}\geq0 $,
$ \therefore (m - n)^{2}= 0,(n - 4)^{2}= 0 $,
$ \therefore n = 4,m = 4 $.
根据你的观察,探究下面的问题.
(1) 已知 $ x^{2}+2xy + 2y^{2}+2y + 1 = 0 $,求 $ 2x + y $ 的值;
(2) 已知 $ \triangle ABC $ 的三边长 $ a,b,c $ 都是正整数,且满足 $ a^{2}+b^{2}-12a - 16b + 100 = 0 $,求 $ \triangle ABC $ 的最大边 $ c $ 的值.

答案：
(1)
∵$x^{2}+2xy+2y^{2}+2y+1=0$，
∴$(x^{2}+2xy+y^{2})+(y^{2}+2y+1)=0$，
即$(x+y)^{2}+(y+1)^{2}=0$。
∵$(x+y)^{2}\geq0$，$(y+1)^{2}\geq0$，
∴$x+y=0$，$y+1=0$。
解得$y=-1$，$x=1$。
∴$2x+y=2×1+(-1)=1$。
(2)
∵$a^{2}+b^{2}-12a-16b+100=0$，
∴$(a^{2}-12a+36)+(b^{2}-16b+64)=0$，
即$(a-6)^{2}+(b-8)^{2}=0$。
∵$(a-6)^{2}\geq0$，$(b-8)^{2}\geq0$，
∴$a=6$，$b=8$。
∵$\triangle ABC$三边长为正整数，$c$为最大边，
∴$c\geq8$，且$c＜6+8=14$。
∴$c=8,9,10,11,12,13$。