《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

11. 如图,四边形 ABCD 中,AB⊥BC,AB//CD,M 为 BC 的中点,AM 平分∠BAD.求证：
(1)DM 平分∠ADC；
(2)AD = AB + CD.

答案： （1）证明：过点M作MN⊥AD于N．
∵AM平分∠BAD，AB⊥BC，MN⊥AD，
∴MN=MB（角平分线的性质）．
∵M为BC中点，
∴MB=MC，
∴MN=MC．
∵AB//CD，AB⊥BC，
∴CD⊥BC（两直线平行，若一条直线垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线），即∠C=90°，
∴MC⊥CD．
∵MN⊥AD，MC⊥CD，且MN=MC，
∴点M在∠ADC的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴DM平分∠ADC．
（2）证明：在Rt△ABM和Rt△ANM中，
∵AM=AM，MB=MN，
∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），
∴AB=AN．
在Rt△DCM和Rt△DNM中，
∵DM=DM，MC=MN，
∴Rt△DCM≌Rt△DNM（HL），
∴CD=DN．
∵AD=AN+DN，
∴AD=AB+CD．

12. 如图,AE⊥AB,AF⊥AC,AE = AB,AF = AC.
(1)图中 EC 与 BF 有怎样的位置关系？试证明你的结论；
(2)连接 AM,求证 MA 平分∠EMF.

答案：
(1) EC⊥BF。
证明：
∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAB=∠FAC=90°，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠FAC+∠BAC=∠BAF。
在△EAC和△BAF中，
AE=AB，∠EAC=∠BAF，AC=AF，
∴△EAC≌△BAF(SAS)，
∴∠AEC=∠ABF。
设EC与AB交于点H，在△AEH中，∠EAB=90°，
∴∠AEC+∠AHE=90°。
∵∠AHE=∠BHM(对顶角相等)，∠AEC=∠ABF，
∴∠ABF+∠BHM=90°，
∴∠HMB=180°-(∠ABF+∠BHM)=90°，即EC⊥BF。
(2) 证明：过点A作AP⊥EM于P，AQ⊥FM于Q。
∵△EAC≌△BAF，
∴EC=BF，S△EAC=S△BAF。
∵S△EAC=1/2·EC·AP，S△BAF=1/2·BF·AQ，EC=BF，
∴AP=AQ。
∵AP⊥EM，AQ⊥FM，
∴点A在∠EMF的平分线上，即MA平分∠EMF。

13. 如图,∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点 D,过点 D 作 DE⊥BC,垂足为 E.
(1)若∠BAC = 68°,求∠BDC 的度数；
(2)连接 AD,求证 AD 平分∠CAM；
(3)若△ABC 的周长为 20,求 BE 的长.

答案：
(1)
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACN（∠ACB的外角），设∠ABD=∠DBC=x，∠ACD=∠DCN=y。
∵∠ACN=∠BAC+∠ABC，
∴2y=68°+2x，即y=x+34°。
在△BDC中，∠BDC=180°-x-(∠ACB+y)，又∠ACB=180°-68°-2x=112°-2x，
∴∠BDC=180°-x-(112°-2x+x+34°)=180°-x-146°=34°。
(2) 过D作DF⊥AB于F，DG⊥AC于G，DE⊥BC于E。
∵BD平分∠ABC，
∴DF=DE；
∵CD平分∠ACN，
∴DG=DE，
∴DF=DG。
∵DF⊥AB，DG⊥AC，
∴AD平分∠CAM（到角两边距离相等的点在角平分线上）。
(3) 设AF=AG=m，BF=BE=n，CG=CE=p，由角平分线性质得DF=DG=DE。
△ABC周长=AB+BC+AC=(m+n)+(n-p)+(m+p)=2(m+n)=20，
∴m+n=10，即BE=n=10。
(1) 34°；
(2) 见解析；
(3) 10。