《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

6. 如图,在$\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AD$ 平分$\angle BAC$ 交 $BC$ 于点 $D$,$DE \perp AB$,垂足为 $E$,若 $BC = 10$,$DE = 4$,则 $BD$ 的长为6。

答案： 6

7. 如图,$OM$ 平分$\angle POQ$,$MA \perp OP$,$MB \perp OQ$,$A$,$B$ 为垂足,$AB$ 交 $OM$ 于点 $N$。求证 $OA = OB$。

答案： 因为$OM$平分$\angle POQ$，$MA \perp OP$，$MB \perp OQ$，
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以$MA = MB$。
在$Rt\triangle OAM$和$Rt\triangle OBM$中，
$\begin{cases}OM = OM,\\MA = MB.\end{cases}$
根据$HL$（斜边-直角边）全等条件，$Rt\triangle OAM\cong Rt\triangle OBM$。
全等三角形的对应边相等，所以$OA = OB$。

8. 如图,$D$ 为$\triangle BAC$ 的外角平分线上一点,且满足 $BD = CD$,过点 $D$ 作 $DE \perp AC$,垂足为 $E$,$DF \perp AB$ 交 $BA$ 的延长线于点 $F$,则下列结论：①$\triangle CDE \cong \triangle BDF$；②$CE = AB + AE$；③$\angle BDC = \angle BAC$；④$\angle DAF = \angle ACD$,其中正确的结论有(D)

A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个

答案： D

9. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\triangle ABC$ 的三条内角平分线交于点 $O$,$OM \perp AB$,垂足为 $M$,若 $OM = 4$,$S_{\triangle ABC} = 200$,则$\triangle ABC$ 的周长为100。

答案： 100

10. $\triangle ABC$ 中,$\angle C ＞ \angle B$,$AE$ 平分$\angle BAC$,$M$ 是 $AE$ 上一点,$MN \perp BC$,垂足为 $N$。
(1) 当点 $M$ 与点 $A$ 重合时,如图 $1$。
① 若$\angle B = 40^{\circ}$,$\angle C = 80^{\circ}$,求$\angle EMN$ 的度数；
② $\angle EMN$ 与$\angle B$,$\angle C$ 之间有何关系？请证明你的结论；
(2) 如图 $2$,$D$ 是 $BC$ 延长线上一点,若$\angle CAD = \angle D$,$MC \perp AD$,垂足为 $F$,探究$\angle CMN$ 与$\angle ACB$ 的关系。

答案：
(1)①
在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-80°=60°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAC/2=30°．
∵AN⊥BC，
∴∠ANC=90°，在Rt△ANC中，∠CAN=90°-∠C=10°．
∴∠EAN=∠CAE-∠CAN=30°-10°=20°，即∠EMN=20°．
②∠EMN=(∠C-∠B)/2．
证明：在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C，AE平分∠BAC，
∴∠CAE=(180°-∠B-∠C)/2=90°-(∠B+∠C)/2．
∵AN⊥BC，∠ANC=90°，
∴∠CAN=90°-∠C．
∴∠EAN=∠CAE-∠CAN=[90°-(∠B+∠C)/2]-(90°-∠C)=(∠C-∠B)/2，即∠EMN=(∠C-∠B)/2．
(2)∠CMN=∠ACB/2．
证明：
∵∠CAD=∠D，
∴AC=CD，△ACD为等腰三角形．
∵MC⊥AD，
∴MC平分∠ACD（等腰三角形三线合一），∠ACM=∠DCM=∠ACD/2．
∵∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠ACD=180°-∠ACB，∠ACM=(180°-∠ACB)/2=90°-∠ACB/2．
∵MN⊥BC，∠MNC=90°，在Rt△MNC中，∠MCN=∠ACB-∠ACM=∠ACB-(90°-∠ACB/2)=3∠ACB/2-90°．
∴∠CMN=90°-∠MCN=90°-(3∠ACB/2-90°)=∠ACB/2．
答案
(1)①20°；②∠EMN=(∠C-∠B)/2；
(2)∠CMN=∠ACB/2．