《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

14. “8 字”形的性质及应用：
(1)如图1,$AD$,$BC相交于点O$,得到一个“8 字”$ABCD$,求证$\angle A + \angle B = \angle C + \angle D$；
(2)如图2,$\angle ABC和\angle ADC的平分线相交于点E$,利用第(1)问中的结论证明$\angle E = \frac{1}{2}(\angle A + \angle C)$。

答案：
(1)证明：
∵AD，BC相交于点O，
∴∠AOB=∠COD（对顶角相等）。
在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，则∠A+∠B=180°-∠AOB。
在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，则∠C+∠D=180°-∠COD。
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D。
(2)证明：设∠ABC的平分线交AD于点M，∠ADC的平分线交BC于点N。
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴设∠ABE=∠EBC=α，∠ADE=∠EDC=β。
在“8字”形ABME中，由
(1)得∠A+∠ABE=∠E+∠ADE，即∠A+α=∠E+β①。
在“8字”形CNDE中，由
(1)得∠C+∠EDC=∠E+∠EBC，即∠C+β=∠E+α②。
①+②得：∠A+α+∠C+β=∠E+β+∠E+α，化简得∠A+∠C=2∠E，
∴∠E=1/2(∠A+∠C)。

15. 将三角尺($\triangle MPN$)放置在$\triangle ABC$上,$\angle MPN = 90^{\circ}$,且点$P在\triangle ABC$内,如图1所示,三角尺的两边$PM$,$PN恰好经过点B和点C$.
(1)特例探究：若$\angle A = 50^{\circ}$,则$\angle PBC + \angle PCB = $90$^{\circ}$,$\angle ABP + \angle ACP = $______40$^{\circ}$；
(2)类比探究：写出$\angle ABP$,$\angle ACP$,$\angle A$之间满足的数量关系,并说明理由；
(3)变式探索：如图2,改变三角尺的位置,使点$P在\triangle ABC$外,三角尺的两边$PM$,$PN仍恰好经过点B和点C$,求$\angle ABP$,$\angle ACP$,$\angle A$之间满足的数量关系,并说明理由.

答案：
(1) 在△PBC中，∠BPC=∠MPN=90°，由三角形内角和定理得∠PBC + ∠PCB=180° - ∠BPC=180° - 90°=90°。
在△ABC中，∠A=50°，则∠ABC + ∠ACB=180° - ∠A=130°。又∠ABC=∠ABP + ∠PBC，∠ACB=∠ACP + ∠PCB，故∠ABP + ∠ACP=(∠ABC + ∠ACB)-(∠PBC + ∠PCB)=130° - 90°=40°。
(2) ∠ABP + ∠ACP=90° - ∠A。理由如下：
在△ABC中，∠ABC + ∠ACB=180° - ∠A。
在△PBC中，∠BPC=90°，故∠PBC + ∠PCB=90°。
又∠ABC=∠ABP + ∠PBC，∠ACB=∠ACP + ∠PCB，
则∠ABP + ∠ACP=(∠ABC + ∠ACB)-(∠PBC + ∠PCB)=(180° - ∠A)-90°=90° - ∠A。
(3) ∠ABP + ∠ACP=∠A - 90°。理由如下：
在△ABC中，∠ABC + ∠ACB=180° - ∠A。
在△PBC中，∠BPC=90°，故∠PBC + ∠PCB=90°。
又∠PBC=∠ABC + ∠ABP，∠PCB=∠ACB + ∠ACP，
则∠ABP + ∠ACP=(∠PBC + ∠PCB)-(∠ABC + ∠ACB)=90°-(180° - ∠A)=∠A - 90°。
(1) 90；40
(2) ∠ABP + ∠ACP=90° - ∠A
(3) ∠ABP + ∠ACP=∠A - 90°