《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

11. 如图,$C为BE$上一点,点$A$,$D分别在BE$两侧,$AB// ED$,$AB = CE$,$BC = ED$.若$\angle A = 135^{\circ}$,求$\angle BCD$的度数.

答案：
∵AB//ED，
∴∠B=∠E（两直线平行，同位角相等）。
在△ABC和△CED中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=CE\\ ∠B=∠E\\ BC=ED\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CED（SAS）。
∴∠A=∠ECD（全等三角形对应角相等）。
∵∠A=135°，
∴∠ECD=135°。
∵点C在BE上，
∴∠BCD+∠ECD=180°（平角定义）。
∴∠BCD=180°-∠ECD=180°-135°=45°。
45°

12. 已知点C为线段AB上一点,分别以AC,BC为边在线段AB同侧作$\triangle ACD$和$\triangle BCE,$且$CA = CD,CB = CE,\angle ACD= \angle BCE,$直线AE与BD相交于点F.(1)如图1,若$\angle ACD = 90^{\circ},$则线段BD与线段AE存在怎样的关系？并说明理由；(2)如图2,若$\angle ACD = 60^{\circ},$则$\angle AFB= ______；$(3)如图3,若$\angle ACD= \alpha,$则$\angle AFB= ______($用含$\alpha$的式子表示)；(4)设$\angle ACD= \alpha,$将图3中的$\triangle ACD$绕点C顺时针旋转任意角度(交点F至少在BD,AE中的一条线段上),如图4,试探究$\angle AFB$与$\alpha$的数量关系,并说明理由.
(1) BD=AE且BD⊥AE。
理由：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB。
在△ACE和△DCB中，CA=CD，∠ACE=∠DCB，CE=CB，∴△ACE≌△DCB(SAS)，∴AE=BD，∠CAE=∠CDB。
设AE与CD交于点O，∵∠AOC=∠DOF，∠CAE=∠CDB，∴∠OFD=∠ACD=90°，∴BD⊥AE。
(2) 60°
(3) α
(4) ∠AFB=α。
理由：∵∠ACD=∠BCE=α，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB。
在△ACE和△DCB中，CA=CD，∠ACE=∠DCB，CE=CB，∴△ACE≌△DCB(SAS)，∴∠CAE=∠CDB。
设AE与CD交于点O，∵∠AOC=∠DOF，∠CAE=∠CDB，∴∠OFD=∠ACD=α，∴∠AFB=∠OFD=α。

答案：
(1) BD=AE且BD⊥AE。
理由：
∵∠ACD=∠BCE=90°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB。
在△ACE和△DCB中，CA=CD，∠ACE=∠DCB，CE=CB，
∴△ACE≌△DCB(SAS)，
∴AE=BD，∠CAE=∠CDB。
设AE与CD交于点O，
∵∠AOC=∠DOF，∠CAE=∠CDB，
∴∠OFD=∠ACD=90°，
∴BD⊥AE。
(2) 60°
(3) α
(4) ∠AFB=α。
理由：
∵∠ACD=∠BCE=α，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB。
在△ACE和△DCB中，CA=CD，∠ACE=∠DCB，CE=CB，
∴△ACE≌△DCB(SAS)，
∴∠CAE=∠CDB。
设AE与CD交于点O，
∵∠AOC=∠DOF，∠CAE=∠CDB，
∴∠OFD=∠ACD=α，
∴∠AFB=∠OFD=α。