《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

8. 已知 $a$,$b$,$c$ 为 $\triangle ABC$ 三条边的长,且 $(b - c)(b + c)+ab - ac = 0$。
(1) 试判断 $\triangle ABC$ 的形状,并说明理由；
(2) 若 $a= \sqrt{3}$,$b = 2$,求 $\triangle ABC$ 的周长。

答案：
(1) $\triangle ABC$是等腰三角形。理由如下：
$\because (b - c)(b + c) + ab - ac = 0$，
$\therefore (b - c)(b + c) + a(b - c) = 0$，
$\therefore (b - c)(a + b + c) = 0$。
$\because a,b,c$为$\triangle ABC$的边长，$\therefore a + b + c ＞ 0$，
$\therefore b - c = 0$，即$b = c$，
$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形。
(2) $\because b = c$，$b = 2$，$\therefore c = 2$。
$\because a = \sqrt{3}$，
$\therefore \triangle ABC$的周长为$a + b + c = \sqrt{3} + 2 + 2 = 4 + \sqrt{3}$。

9. 先阅读下面的材料,再分解因式。
要把多项式 $am + an + bm + bn$ 分解因式,可以先把它的前两项分成一组,并提出 $a$,再把它的后两项分成一组,并提出 $b$,从而得 $am + an + bm + bn = a(m + n)+b(m + n)$。这时,由于 $a(m + n)+b(m + n)$ 中又有公因式 $m + n$,于是可提公因式 $m + n$,从而得到 $(m + n)(a + b)$,因此有 $am + an + bm + bn= (am + an)+(bm + bn)= a(m + n)+b(m + n)= (m + n)(a + b)$。
这种因式分解的方法叫作“分组分解法”,如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后,它们的另一个因式正好相同,那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式。
请用上面材料中提供的方法分解因式：
(1) $ab - ac + bc - b^{2}$；
(2) $m^{2}-mn + mx - nx$；
(3) $x^{2}y^{2}-2x^{2}y - 4y + 8$。

答案：
(1)
$\begin{aligned}ab - ac + bc - b^{2} &= (ab - ac) + (bc - b^{2}) \\&= a(b - c) + b(c - b)\\&= a(b - c) - b(b - c)\\&= (b - c)(a - b)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}m^{2}-mn + mx - nx &= (m^{2}-mn) + (mx - nx)\\&= m(m - n) + x(m - n)\\&= (m - n)(m + x)\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}x^{2}y^{2}-2x^{2}y - 4y + 8 &= (x^{2}y^{2}-2x^{2}y) - (4y - 8)\\&= x^{2}y(y - 2) - 4(y - 2)\\&= (y - 2)(x^{2}y - 4)\end{aligned}$