《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

12. “我们把多项式 $a^{2}+2ab + b^{2}$ 及 $a^{2}-2ab + b^{2}$ 叫作完全平方式。”如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形：先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫作配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等。
例1 分解因式：$x^{2}+2x - 3$。
解：原式 $=(x^{2}+2x + 1)-4= (x + 1)^{2}-4= [(x + 1)+2][(x + 1)-2]= (x + 3)(x - 1)$。
例2 求代数式 $2x^{2}+4x - 6$ 的最小值。
解：$2x^{2}+4x - 6 = 2(x^{2}+2x - 3)= 2(x + 1)^{2}-8$,
因为 $2(x + 1)^{2}\geqslant0$,所以当 $x = - 1$ 时,$2x^{2}+4x - 6$ 有最小值,最小值是 $-8$。
根据阅读材料用配方法解决下列问题。
(1) 分解因式：$m^{2}-2m - 3= $$(m + 1)(m - 3)$；
(2) 当 $a$,$b$ 为何值时,多项式 $a^{2}+b^{2}-2a + 4b + 9$ 有最小值？并求出这个最小值；
(3) 已知 $a$,$b$,$c$ 是 $\triangle ABC$ 的三边长,且满足 $a^{2}-4a + b^{2}-6b + c^{2}-4c + 17 = 0$,试判断 $\triangle ABC$ 的形状。

答案：
(1)
$m^{2}-2m - 3=(m^{2}-2m + 1)-4=(m - 1)^{2}-4=(m - 1 + 2)(m - 1 - 2)=(m + 1)(m - 3)$
(2)
$a^{2}+b^{2}-2a + 4b + 9=(a^{2}-2a + 1)+(b^{2}+4b + 4)+4=(a - 1)^{2}+(b + 2)^{2}+4$
因为$(a - 1)^{2}\geqslant0$，$(b + 2)^{2}\geqslant0$，
所以当$a = 1$，$b = - 2$时，$(a - 1)^{2}+(b + 2)^{2}+4$有最小值，最小值是$4$。
(3)
$a^{2}-4a + b^{2}-6b + c^{2}-4c + 17 = 0$可化为$(a^{2}-4a + 4)+(b^{2}-6b + 9)+(c^{2}-4c + 4)=0$，
即$(a - 2)^{2}+(b - 3)^{2}+(c - 2)^{2}=0$，
因为$(a - 2)^{2}\geqslant0$，$(b - 3)^{2}\geqslant0$，$(c - 2)^{2}\geqslant0$，
所以$a - 2 = 0$，$b - 3 = 0$，$c - 2 = 0$，
解得$a = 2$，$b = 3$，$c = 2$，
所以$a = c$，
所以$\triangle ABC$是等腰三角形。