《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

11. 如图,在四边形$ABCD$中,连接$BD$,分别过点$A$,$C作AF\perp BD$,$CE\perp BD$,垂足分别为$F$,$E$,$AD = CB$,$DE = BF$。
(1)求证$\triangle AFD\cong\triangle CEB$；
(2)若$\triangle AFB的面积为1$,且$DF = 2BF$,请直接写出四边形$ABCD$的面积。

答案：
(1)证明：
∵AF⊥BD，CE⊥BD，
∴∠AFD=∠CEB=90°．
∵DE=BF，
∴DE+EF=BF+EF（或DE-EF=BF-EF），即DF=BE．
在Rt△AFD和Rt△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=CB\\DF=BE\end{array}\right.$
∴Rt△AFD≌Rt△CEB（HL）．
(2)6

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$DE是过点A$的直线,$BD\perp DE$,$CE\perp DE$,垂足分别为$D$,$E$；
(1)若$B$,$C在DE$的同侧(如图$1$所示),且$AD = CE$。求证$AB\perp AC$；
(2)若$B$,$C在DE$的两侧(如图$2$所示),且$AD = CE$,其他条件不变,$AB与AC$仍垂直吗？若是,请给出证明；若不是,请说明理由。

答案：
(1)证明：
∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠CEA=90°（垂直定义）。
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC\\ AD=CE\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）。
∴∠BAD=∠ACE（全等三角形对应角相等）。
在Rt△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠BAD+∠CAE=90°（等量代换）。
∵D，A，E在直线DE上，
∴∠DAE=180°（平角定义），
即∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°，
∴∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=180°-90°=90°，
∴AB⊥AC。
(2)AB与AC仍垂直，证明如下：
∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠CEA=90°（垂直定义）。
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC\\ AD=CE\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）。
∴∠BAD=∠ACE（全等三角形对应角相等）。
在Rt△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠BAD+∠CAE=90°（等量代换）。
∵∠BAC=∠BAD+∠CAE，
∴∠BAC=90°，
∴AB⊥AC。