《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$。以点$A$为圆心,任意长为半径画弧,分别交$AB$,$AC于点M$,$N$,再分别以点$M$,$N$为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧,两弧相交于点$P$,连接$AP$并延长,交$BC于点D$,连接$MP$,$NP$。
(1) 求证$\angle CAD = \angle BAD$；
(2) 若$AB = 8$,$CD = 3$,求$\triangle ABD$的面积。

答案：
(1) 证明：由作图得，AM=AN，PM=PN。
在△AMP和△ANP中，
$\left\{\begin{array}{l} AM=AN\\ PM=PN\\ AP=AP\end{array}\right.$
∴△AMP≌△ANP（SSS）。
∴∠MAP=∠NAP，即∠CAD=∠BAD。
(2) 解：过点D作DE⊥AB于E。
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC。
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=DC=3。
∴S△ABD=$\frac{1}{2}×AB×DE=\frac{1}{2}×8×3=12$。

11. 数学活动课上,在学习了角平分线的尺规作图后。嘉嘉受此问题启发,利用轴对称性又发现了一种作角平分线的方法。如图,请仔细阅读并完成相应任务。
作法：①以点$O$为圆心,适当长为半径画弧,交$OA于点C$,交$OB于点D$；②再以点$O$为圆心,大于$OC$长为半径画弧,交$OA于点E$,交$OB于点F$；③连接$CF$,$DE交于点P$；④作射线$OP$,则射线$OP即为\angle AOB$的平分线。
任务：
(1) 由尺规作图可直接得到的相等线段有$OC = OD$和OE=OF；
(2) 由(1)中的条件,可证$\triangle OCF \cong \triangle ODE$,依据是SAS(填判定方法),
(3) 如果把(2)中的$\triangle OCF \cong \triangle ODE$作为条件,求证$OP平分\angle AOB$。

答案：
(1) OE=OF
(2) SAS
(3) 证明：
∵△OCF≌△ODE，
∴OC=OD，OE=OF，∠OFC=∠OED，
∵OE=OF，OC=OD，
∴OE-OC=OF-OD，即CE=DF，
在△CEP和△DFP中，
∠CEP=∠DFP（等角的补角相等），
∠CPE=∠DPF（对顶角相等），
CE=DF，
∴△CEP≌△DFP(AAS)，
∴PE=PF，
在△OEP和△OFP中，
OE=OF，
PE=PF，
OP=OP，
∴△OEP≌△OFP(SSS)，
∴∠EOP=∠FOP，
即OP平分∠AOB。