《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

12. (1)若$3^{m}× 9^{m}× 27^{m}= 3^{12}$,则$m$的值为2；
(2)若$a^{m}= 2$,$a^{n}= 3$,则$a^{2m + n}= $12。

答案：
(1) $2$
(2) $12$

13. 计算：
(1)$(-a^{2})^{3}\cdot a^{3}+(-a)^{2}\cdot a^{7}-2(a^{3})^{3}$；(2)$x^{5}\cdot x^{7}+x^{6}\cdot (-x^{3})^{2}+2(x^{3})^{4}$。

答案：
(1)
$\;\;\;\;(-a^{2})^{3}\cdot a^{3}+(-a)^{2}\cdot a^{7}-2(a^{3})^{3}$
$=-a^{6}\cdot a^{3}+a^{2}\cdot a^{7}-2a^{9}$
$=-a^{9}+a^{9}-2a^{9}$
$=-2a^{9}$
(2)
$\;\;\;\;x^{5}\cdot x^{7}+x^{6}\cdot (-x^{3})^{2}+2(x^{3})^{4}$
$=x^{12}+x^{6}\cdot x^{6}+2x^{12}$
$=x^{12}+x^{12}+2x^{12}$
$=4x^{12}$

14. 已知$a^{m}= 2$,$a^{n}= 5$,求$a^{3m + 2n}$的值。

答案： 根据题意，由幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$以及同底数幂的乘法运算法则$a^m× a^n = a^{m + n}$可得：
$a^{3m + 2n}=a^{3m}× a^{2n}=(a^{m})^{3}×(a^{n})^{2}$。
已知$a^{m}=2$，$a^{n}=5$，将其代入上式可得：
$(a^{m})^{3}×(a^{n})^{2}=2^{3}×5^{2}$。
$2^{3}=8$，$5^{2}=25$，则$2^{3}×5^{2}=8×25 = 200$。
综上，$a^{3m + 2n}$的值为$200$。

15. (1)设$n$为正整数,且$x^{2n}= 3$,求$(x^{3n})^{2}-4(x^{2})^{2n}$的值；
(2)若$2^{a}\cdot 4^{2a}\cdot 8^{3a}\cdot 16^{a}= 2^{36}$,求$a$的值。

答案：
(1)
已知$x^{2n}=3$。
根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$，对$(x^{3n})^{2}-4(x^{2})^{2n}$进行化简：
$(x^{3n})^{2}=x^{3n×2}=x^{6n}=(x^{2n})^3$，$(x^{2})^{2n}=x^{2×2n}=x^{4n}=(x^{2n})^2$。
将$x^{2n}=3$代入$(x^{3n})^{2}-4(x^{2})^{2n}$可得：
$(x^{2n})^3 - 4×(x^{2n})^2=3^3 - 4×3^2=27 - 4×9=27 - 36=-9$。
(2)
先将$4^{2a}$，$8^{3a}$，$16^{a}$转化为以$2$为底数的幂形式：
$4^{2a}=(2^2)^{2a}=2^{4a}$，$8^{3a}=(2^3)^{3a}=2^{9a}$，$16^{a}=(2^4)^{a}=2^{4a}$。
则$2^{a}\cdot4^{2a}\cdot8^{3a}\cdot16^{a}=2^{a}\cdot2^{4a}\cdot2^{9a}\cdot2^{4a}$。
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$2^{a}\cdot2^{4a}\cdot2^{9a}\cdot2^{4a}=2^{a + 4a+9a + 4a}=2^{18a}$。
因为$2^{a}\cdot4^{2a}\cdot8^{3a}\cdot16^{a}=2^{36}$，所以$2^{18a}=2^{36}$。
根据指数相等可得$18a = 36$，解得$a = 2$。
综上，
(1)的答案是$-9$；
(2)的答案是$2$。

16. 阅读材料：
|材料一：比较$3^{22}和4^{11}$的大小。|材料二：比较$2^{8}和8^{2}$的大小。|
|解：因为$4^{11}= (2^{2})^{11}= 2^{22}$,且$3＞2$,所以$3^{22}＞2^{22}$,即$3^{22}＞4^{11}$。|解：因为$8^{2}= (2^{3})^{2}= 2^{6}$,且$8＞6$,所以$2^{8}＞2^{6}$,即$2^{8}＞8^{2}$。|
|小结：指数相同的情况下,通过比较底数的大小,来确定两个幂的大小。|小结：底数相同的情况下,通过比较指数的大小,来确定两个幂的大小。|

解决下列问题。
(1)比较$3^{44}$,$4^{33}$,$5^{22}$的大小；
(2)比较$2^{75}$,$4^{50}$,$8^{26}$的大小。

答案：
(1)
因为$3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11}$，$4^{33}=(4^3)^{11}=64^{11}$，$5^{22}=(5^2)^{11}=25^{11}$，
且$81＞64＞25$，所以$3^{44}＞4^{33}＞5^{22}$。
(2)
因为$2^{75}=(2^3)^{25}=8^{25}$，$4^{50}=(2^2)^{50}=2^{100}=(2^4)^{25}=16^{25}$，$8^{26}=(2^3)^{26}=2^{78}=(2^{78/25})^{25}\approx(2^{3.12})^{25}$，$8^{26} = 8×8^{25}=(2^3)×(2^3)^{25}=8×2^{75}=8×(2^3)^{25}=8×8^{25}$，更准确计算$8^{26}=(2^3)^{26}=2^{78}=(2^{3.12})^{25}$（此步多余，只为说明，实际下面计算），
$2^{75}=8^{25}$，$4^{50}=16^{25}$，$8^{26}=8×8^{25}$，
比较$16^{25}$，$8×8^{25}$和$8^{25}$，
因为$16＞8$，所以$16^{25}＞8×8^{25}＞8^{25}$，
即$4^{50}＞8^{26}＞2^{75}$。