《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

6. 分解因式：$3ax^{2}-6axy + 3ay^{2}= $$3a(x - y)^{2}$。

答案： $3a(x - y)^{2}$

7. 已知 $x - y = 1$,则代数式 $2x^{2}-4xy + 2y^{2}$ 的值为2。

答案： 2

8. 已知 $xy = 2$,$x - 2y= \sqrt{3}$,则 $x^{3}y - 4x^{2}y^{2}+4xy^{3}= $6。

答案： $6$

9. 新定义：对于任意实数 $x$,都有 $f(x)= ax^{2}+bx$,若 $f(1)= 5$,$f(2)= 12$,则将 $f(x^{2}-4x)$ 因式分解的结果为$x(x-4)(x-2)^{2}$。

答案： $x(x-4)(x-2)^{2}$

10. 已知 $a$,$b$,$c$ 为三角形的三边长,且满足 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ac = 0$,则该三角形的形状是等边三角形。

答案： 将等式两边同时乘以2，得：
$2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} - 2ab - 2bc - 2ac = 0$
分组并配方：
$(a^{2} - 2ab + b^{2}) + (b^{2} - 2bc + c^{2}) + (a^{2} - 2ac + c^{2}) = 0$
即：
$(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (a - c)^{2} = 0$
因为平方数非负，所以：
$a - b = 0, b - c = 0, a - c = 0$
解得：
$a = b = c$
故该三角形是等边三角形。
等边三角形

11. 根据等式和不等式的性质,我们可以得到比较两数大小的方法：
(1) ①如果 $a - b ＜ 0$,那么 $a$＜$b$；
②如果 $a - b = 0$,那么 $a$=$b$；
③如果 $a - b ＞ 0$,那么 $a$＞$b$。
(2) 如(1)中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”,请运用这种方法尝试解决下面的问题：
①若 $2a + 2b - 1＞3a + b$,比较 $a$,$b$ 的大小；
②比较 $3a^{2}-2b + 2b^{2}$ 与 $3a^{2}+b^{2}-1$ 的大小。

答案：
(1)
① $＜$
② $=$
③ $＞$
(2)
① $2a + 2b - 1＞3a + b$，
移项可得：$2a + 2b - 1-(3a + b)＞0$，
即$b - a - 1＞0$，
所以$b - a＞1＞0$，
则$b ＞ a$。
② $(3a^{2}-2b + 2b^{2})-(3a^{2}+b^{2}-1)$
$=3a^{2}-2b + 2b^{2}-3a^{2}-b^{2}+1$
$=b^{2}-2b + 1$
$=(b - 1)^{2}\geqslant0$
当$b = 1$时，$3a^{2}-2b + 2b^{2}=3a^{2}+b^{2}-1$；
当$b\neq1$时，$3a^{2}-2b + 2b^{2}＞3a^{2}+b^{2}-1$。