《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

7. 如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,P 是 AD 上的一点,PE//AB,交 BC 于点 E,PF//AC,交 BC 于点 F.求证点 D 到 PE,PF 的距离相等.

答案： 证明：
∵ PE//AB（已知），
∴ ∠EPD=∠BAD（两直线平行，内错角相等）．
∵ PF//AC（已知），
∴ ∠FPD=∠CAD（两直线平行，内错角相等）．
∵ AD是△ABC的角平分线（已知），
∴ ∠BAD=∠CAD（角平分线定义）．
∴ ∠EPD=∠FPD（等量代换），即PD平分∠EPF．
∵ 点D在∠EPF的平分线上，
∴ 点D到PE，PF的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等）．

8. 如图,BE = CF,DE⊥AB,交 AB 的延长线于点 E,DF⊥AC,垂足为 F,且 DB = DC,求证 AD 是∠BAC 的平分线.

答案： 因为 $DE \perp AB$，$DF \perp AC$，
所以 $\angle BED = \angle CFD = 90^\circ$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDF$中
$\begin{cases} \angle BED = \angle CFD = 90^\circ, \\ BE = CF, \\ BD = CD. \end{cases}$
所以$\triangle BDE \cong \triangle CDF (HL)$。
所以$DE = DF$。
由角平分线的判定定理（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
所以点$D$在$\angle BAC$的平分线上，
即$AD$是$\angle BAC$的平分线。

9. 如图,已知△ABC 的面积为$ 8 cm^2,BP $为∠ABC 的平分线,AP⊥BP,则△PBC 的面积为(C)
$A. 3.5 cm^2$
$B. 3.9 cm^2$
$C. 4 cm^2$
$D. 4.2 cm^2$

答案： C

10. 如图,已知四边形 ABCD 中,对角线 BD 平分∠ABC,∠ACB = 70°,∠ABC = 48°,且∠BAD + ∠CAD = 180°,则∠BDC 的度数为31.

答案： 31