《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

10. 如果一个正整数能表示为两个正整数 $m$,$n$ 的平方差,且 $m - n = 2$,则称这个正整数为“智慧优数”。例如,当 $m = 3$,$n = 1$ 时,$8 = 3^{2}-1^{2}$,8 是一个智慧优数。若将智慧优数从小到大排列,第 2025 个智慧优数是8104。

答案： 8104

11. 已知 $a= \sqrt{3}-\sqrt{2}$,$b= \sqrt{3}+\sqrt{2}$,求下列各式的值：
(1) $ab$；
(2) $a^{2}-b^{2}$。

答案： 答题卡：
(1)
$ab= (\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})$
$=\sqrt{3} × \sqrt{3}+\sqrt{3} × \sqrt{2}-\sqrt{2} × \sqrt{3}-\sqrt{2} × \sqrt{2}$
$=3 - 2$
$= 1$
(2)
首先求$(a + b)$和$(a - b)$的值：
$a + b=(\sqrt{3} - \sqrt{2})+(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 2\sqrt{3}$，
$a - b=(\sqrt{3} - \sqrt{2})-(\sqrt{3} + \sqrt{2})=-2\sqrt{2}$，
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，
将$a + b = 2\sqrt{3}$，$a - b=-2\sqrt{2}$代入可得：
$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)=2\sqrt{3}×(-2\sqrt{2})=-4\sqrt{6}$。
综上，答案依次为：
(1)$1$；
(2)$-4\sqrt{6}$。

12. 从边长为 $a$ 的正方形中剪掉一个边长为 $b$ 的正方形(如图 1),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图 2)。
(1) 上述操作能验证的等式是______(请选择正确的一个)；
A. $a^{2}-2ab + b^{2}= (a - b)^{2}$
B. $a^{2}-b^{2}= (a + b)(a - b)$
C. $a^{2}+ab = a(a + b)$
(2) 若 $x^{2}-9y^{2}= 12$,$-x + 3y = 4$,求 $x + 3y$ 的值。

(1) B
(2) 由 $x^{2}-9y^{2}=(x + 3y)(x - 3y)=12$，
又 $-x + 3y = 4$，即 $x - 3y=-4$，
把 $x - 3y = - 4$代入$(x + 3y)(x - 3y)=12$，
得$-4(x + 3y)=12$，
所以 $x + 3y=-3$。

答案：
(1) B
(2)
由 $x^{2}-9y^{2}=(x + 3y)(x - 3y)=12$，
又 $-x + 3y = 4$，即 $x - 3y=-4$，
把 $x - 3y = - 4$代入$(x + 3y)(x - 3y)=12$，
得$-4(x + 3y)=12$，
所以 $x + 3y=-3$。