《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

14. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB $ 的垂直平分线分别交 $ AB $,$ BC $ 于点 $ M $,$ D $,$ AC $ 的垂直平分线分别交 $ AC $,$ BC $ 于点 $ N $,$ E $.
(1) 若 $ \triangle ADE $ 的周长为 $ 15\,cm $,求 $ BC $ 的长；
(2) 分别延长 $ MD $,$ NE $,相交于点 $ O $.
① 求证点 $ O $ 在线段 $ BC $ 的垂直平分线上；
② 若 $ \angle DOE = 76^{\circ} $,则 $ \angle B + \angle C = $______.

(1)因为$DM$是$AB$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，所以$DA = DB$。
同理，因为$EN$是$AC$的垂直平分线，所以$EA=EC$。
$\triangle ADE$的周长为$AD + DE+EA$，把$DA = DB$，$EA = EC$代入可得：$AD + DE+EA=DB + DE+EC=BC$。
已知$\triangle ADE$的周长为$15cm$，所以$BC = 15cm$。
(2)①因为$DM$是$AB$的垂直平分线，所以$OM\perp AB$，$MA = MB$，则$\angle OMB = 90^{\circ}$。
因为$EN$是$AC$的垂直平分线，所以$ON\perp AC$，$NA=NC$，则$\angle ONC = 90^{\circ}$。
可证明$\triangle OMB\cong\triangle OMA(SAS)$（$MA = MB$，$\angle OMB=\angle OMA = 90^{\circ}$，$OM = OM$），所以$OB = OA$。
同理可证明$\triangle ONC\cong\triangle ONA(SAS)$（$NA=NC$，$\angle ONC=\angle ONA = 90^{\circ}$，$ON = ON$），所以$OC = OA$。
所以$OB = OC$。
根据线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，所以点$O$在线段$BC$的垂直平分线上。
②$104^{\circ}$

答案：
(1)
因为$DM$是$AB$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，所以$DA = DB$。
同理，因为$EN$是$AC$的垂直平分线，所以$EA=EC$。
$\triangle ADE$的周长为$AD + DE+EA$，把$DA = DB$，$EA = EC$代入可得：$AD + DE+EA=DB + DE+EC=BC$。
已知$\triangle ADE$的周长为$15cm$，所以$BC = 15cm$。
(2)
①
因为$DM$是$AB$的垂直平分线，所以$OM\perp AB$，$MA = MB$，则$\angle OMB = 90^{\circ}$，$\angle B+\angle BDM = 90^{\circ}$。
因为$EN$是$AC$的垂直平分线，所以$ON\perp AC$，$NA=NC$，则$\angle ONC = 90^{\circ}$，$\angle C+\angle CEN = 90^{\circ}$。
在$\triangle OMB$和$\triangle ONC$中，$\angle OMB=\angle ONC = 90^{\circ}$。
又因为$\angle BDM=\angle EDO$（对顶角相等），$\angle CEN=\angle DEO$（对顶角相等）。
$OB = OB$，$OC = OC$，且$\angle BOM=\angle B = 90^{\circ}-\angle BDM$，$\angle CON=\angle C = 90^{\circ}-\angle CEN$。
$OM$是$AB$垂直平分线，$ON$是$AC$垂直平分线，可证明$\triangle OMB\cong\triangle OMA(SAS)$（$MA = MB$，$\angle OMB=\angle OMA = 90^{\circ}$，$OM = OM$），$\triangle ONC\cong\triangle ONA(SAS)$（$NA=NC$，$\angle ONC=\angle ONA = 90^{\circ}$，$ON = ON$）。
所以$OB = OA$，$OC = OA$，则$OB = OC$。
根据线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，所以点$O$在线段$BC$的垂直平分线上。
②
因为$OB = OC$，$OM\perp AB$，$ON\perp AC$，在四边形$OMAN$中，$\angle OMA=\angle ONA = 90^{\circ}$，所以$\angle MAN+\angle MON = 180^{\circ}$。
已知$\angle DOE=\angle MON = 76^{\circ}$，则$\angle BAC=180^{\circ}-\angle MON=104^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，在$\triangle ABC$中，$\angle B+\angle C=180^{\circ}-\angle BAC = 104^{\circ}$（原题求$\angle B+\angle C$，答案应为$104^{\circ}$） 。
综上，答案依次为：
(1)$15cm$；
(2)①证明过程如上述；②$104^{\circ}$。

15. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle BAC $ 的平分线 $ AD $ 与边 $ BC $ 的垂直平分线 $ DE $ 相交于点 $ D $,过点 $ D $ 作 $ DM \perp AB $,垂足为 $ M $,$ DN \perp AC $,交 $ AC $ 的延长线于点 $ N $.
(1) 求证 $ BM = CN $；
(2) 若 $ AB = 11 $,$ AC = 5 $,求 $ BM $ 的长.

答案：
(1)
连接$DB$，$DC$，
因为$AD$是$\angle BAC$的平分线，$DM\perp AB$，$DN\perp AC$，
根据角平分线的性质可知$DM = DN$。
因为$DE$是$BC$的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质可知$DB = DC$。
在$Rt\triangle DMB$和$Rt\triangle DNC$中，
$\begin{cases}DB = DC\\DM = DN\end{cases}$
根据“$HL$”定理，$Rt\triangle DMB\cong Rt\triangle DNC$，
所以$BM = CN$。
(2)
在$Rt\triangle AMD$和$Rt\triangle AND$中，
$\begin{cases}AD = AD\\DM = DN\end{cases}$
根据“$HL$”定理，$Rt\triangle AMD\cong Rt\triangle AND$，
所以$AM = AN$。
设$BM = CN = x$，
因为$AM = AB - BM = 11 - x$，$AN = AC + CN = 5 + x$，
又因为$AM = AN$，
所以$11 - x = 5 + x$，
$2x = 6$，
解得$x = 3$，
即$BM$的长为$3$。