《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

8. 已知$a + b = 2$,$a - b = 3$,则$a^{2}-b^{2}$的值为6.

答案： 6

9. 已知$a - b = 2$,则代数式$a^{2}-4b - b^{2}$的值是4.

答案： 4

10. 先化简,再求值：$(2 - a)(2 + a)-2a(a + 3)+3a^{2}$,其中$a = -\frac{1}{3}$.

答案： 6

11. 已知$2a^{2}+3a - 6 = 0$,求代数式$3a(2a + 1)-(2a + 1)(2a - 1)$的值.

答案： 首先，对代数式进行化简：
$3a(2a + 1) - (2a + 1)(2a - 1)$
$= 6a^{2} + 3a - (4a^{2} - 1)$
$= 6a^{2} + 3a - 4a^{2} + 1$
$= 2a^{2} + 3a + 1$
由题目条件，$2a^{2} + 3a - 6 = 0$，
移项可得：
$2a^{2} + 3a = 6$
将$2a^{2} + 3a = 6$代入化简后的代数式$2a^{2} + 3a + 1$中，
$2a^{2} + 3a + 1 = 6 + 1 = 7$
故原式的值为7。

12. 如图,在边长为$a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a ＞ b)$,把余下的部分剪拼成一个长方形.
(1) 通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积),可以验证的等式是(B)
A. $a^{2}-2ab + b^{2}= (a - b)^{2}$

B. $a^{2}-b^{2}= (a + b)(a - b)$
C. $a^{2}+ab = a(a + b)$
D. $a^{2}-b^{2}= (a - b)^{2}$
(2) 应用你从(1)中选出的等式,完成下列各题：
① 已知$a + b = 6$,$a^{2}-b^{2}= 24$,求$a - b$的值；
② 计算：$(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×…×(1-\frac{1}{2025^{2}})$.

(2)①4；②$\frac{1013}{2025}$

答案：
(1)原图阴影部分面积为$a^{2}-b^{2}$，剪拼后的长方形面积为$(a + b)(a - b)$，可以验证的等式是$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$。
故答案为：B。
(2)①因为$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，$a + b = 6$，$a^{2}-b^{2}= 24$，所以$a - b=\frac{a^{2}-b^{2}}{a + b}=\frac{24}{6}=4$。
②$\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)×\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right)×\left(1-\frac{1}{4^{2}}\right)×\cdots×\left(1-\frac{1}{2025^{2}}\right)$
$=\frac{2^{2}-1}{2^{2}}×\frac{3^{2}-1}{3^{2}}×\frac{4^{2}-1}{4^{2}}×\cdots×\frac{2025^{2}-1}{2025^{2}}$
$=\frac{(2 - 1)(2 + 1)}{2^{2}}×\frac{(3 - 1)(3 + 1)}{3^{2}}×\frac{(4 - 1)(4 + 1)}{4^{2}}×\cdots×\frac{(2025 - 1)(2025 + 1)}{2025^{2}}$
$=\frac{1×3}{2^{2}}×\frac{2×4}{3^{2}}×\frac{3×5}{4^{2}}×\cdots×\frac{2024×2026}{2025^{2}}$
$=\frac{1}{2}×\frac{2026}{2025}$
$=\frac{1013}{2025}$。