《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

11. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^\circ $,$ \angle BAC = 30^\circ $,$ E $ 为边 $ AB $ 的中点,以 $ BE $ 为边作等边三角形 $ BDE $,连接 $ AD $,$ CD $.
(1) 求证 $ \triangle ACD $ 为等边三角形；
(2) 若 $ AC = 4 $,在边 $ AC $ 上找一点 $ H $,使得 $ BH + EH $ 最小,并求出这个最小值.

答案：
(1) 见证明；
(2) 最小值为4。

12. 如图,四边形 $ ABCD $ 中,$ AD = 2 $,$ \angle A = \angle D = 90^\circ $,$ \angle B = 60^\circ $,$ BC = 2CD $.
(1) 在 $ AD $ 上找到点 $ P $,使 $ PB + PC $ 的值最小(保留作图痕迹,不写证明过程)；
(2) 求 $ PB + PC $ 的最小值.

答案：
(1) 作图见解析；
(2) 4。

13. 请仅用无刻度直尺完成以下作图.
(1) 如图 1,在直线 $ l $ 上画点 $ M $,$ N $,使得 $ MN $ 的长与小正方形的边长相等,且 $ AM + BN $ 最小；
(2) 如图 2,在直线 $ l $ 上画点 $ M $,$ N $,使得 $ MN $ 的长与小正方形的边长相等,且 $ AM + MN + BN $ 最小.

答案：
(1) ① 找到点B向左平移1个小正方形边长的格点B'；② 连接A、B'，交直线l于点M；③ 点M向右平移1个小正方形边长得点N。
(2) ① 找到点A向右平移1个小正方形边长的格点A'；② 连接A'、B，交直线l于点N；③ 点N向左平移1个小正方形边长得点M。