《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

10. 仔细阅读下面例题,解答问题。
例题：已知二次三项式 $x^{2}-4x + m$ 有一个因式是 $x + 3$,求另一个因式以及 $m$ 的值。
解：设另一个因式为 $x + n$,则 $x^{2}-4x + m= (x + 3)(x + n)$,
即 $x^{2}-4x + m = x^{2}+(n + 3)x + 3n$,$\therefore\begin{cases}n + 3 = - 4\\3n = m\end{cases} $,解得 $\begin{cases}n = - 7\\m = - 21\end{cases} $。
故另一个因式为 $x - 7$,$m$ 的值为 $-21$。
(1) 已知二次三项式 $x^{2}+3x - c$ 有一个因式是 $x - 5$,则 $c= $40；
(2) 已知二次三项式 $2x^{2}-6x - k$ 有一个因式是 $x - 5$,求另一个因式以及 $k$ 的值。
另一个因式为$2x + 4$，$k$的值为$20$。

答案：
(1)设另一个因式为$x + b$，
则$x^{2} + 3x - c = (x - 5)(x + b)$，
即$x^{2} + 3x - c = x^{2} + (b - 5)x - 5b$，
$\therefore \begin{cases}b - 5 = 3,\\-5b = -c.\end{cases}$
解得$\begin{cases}b = 8,\\c = 40.\end{cases}$
故答案为：$40$；
(2)设另一个因式为$2x + a$，
则$2x^{2} - 6x - k = (x - 5)(2x + a)$，
即$2x^{2} - 6x - k = 2x^{2} + (a - 10)x - 5a$，
$\therefore \begin{cases}a - 10 = -6,\\-5a = -k.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 4,\\k = 20.\end{cases}$
故另一个因式为$2x + 4$，$k$的值为$20$。