《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

14. 已知$a - b= 7$,$ab= -10$.
(1)分别求$a^{2}+b^{2}与(a + b)^{2}$的值；
(2)求代数式$(a + b + c)^{2}+(a - b - c)(a - b + c)-2c(a + b)$的值.

答案：
(1)
已知$a - b = 7$，$ab = - 10$。
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2$，可得$a^2 + b^2=(a - b)^2 + 2ab$。
将$a - b = 7$，$ab = - 10$代入上式得：
$a^2 + b^2=7^2+2×(-10)=49 - 20 = 29$。
根据完全平方公式$(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2$，把$a^2 + b^2 = 29$，$ab = - 10$代入得：
$(a + b)^2=29+2×(-10)=29 - 20 = 9$。
(2)
对$(a + b + c)^{2}+(a - b - c)(a - b + c)-2c(a + b)$进行化简：
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn + n^2$，$(a + b + c)^{2}=(a + b)^2+2c(a + b)+c^2$。
根据平方差公式$(m - n)(m + n)=m^2 - n^2$，$(a - b - c)(a - b + c)=[(a - b)-c][(a - b)+c]=(a - b)^2 - c^2$。
则原式$=(a + b)^2+2c(a + b)+c^2+(a - b)^2 - c^2-2c(a + b)$
$=(a + b)^2+(a - b)^2$
由完全平方公式展开得$a^2 + 2ab + b^2+a^2 - 2ab + b^2=2(a^2 + b^2)$。
把$a^2 + b^2 = 29$代入得：$2×29 = 58$。
综上，答案为：
(1)$a^{2}+b^{2}=29$，$(a + b)^{2}=9$；
(2)$58$。

15. 现有长与宽分别为$a$,$b$的小长方形若干个,用两个这样的小长方形拼成如图1的图形,用四个相同的小长方形拼成如图2的图形.请认真观察图形,解答下列问题：
(1)根据图1,教材已给出关于$a$,$b$的关系式：$(a + b)^{2}= a^{2}+2ab + b^{2}$；
根据图2,关于$a$,$b$的关系式可表示为：$(a + b)^2=(a - b)^2+4ab$；
根据上面的思路与方法,解决下列问题：
(2)①若$4m^{2}+n^{2}= 40$,$2m + n= 8$,则$mn= $6；
②若$(4 - m)(5 - m)= 6$,则$(4 - m)^{2}+(5 - m)^{2}= $13；
(3)如图3,$C是线段AB$上的一点,以$AC$,$BC$为边向两边作正方形,设$AB = 7$,两正方形的面积和$S_{1}+S_{2}= 16$,求图中阴影部分的面积.

$\frac{33}{4}$

答案：
(1)$(a + b)^2=(a - b)^2+4ab$；
(2)①$6$；②$13$；
(3)$\frac{33}{4}$。