《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

14. 如图,$AD // BC$,$∠BAD = 90^{\circ}$,以点 B 为圆心,BC 长为半径画弧,与射线 AD 相交于点 E,连接 BE,过点 C 作$CF \perp BE$,垂足为 F。不添加辅助线找出图中与 BF 相等的线段,然后再加以证明。

答案： 与BF相等的线段是AE。
证明：
∵AD//BC，∠BAD=90°，
∴∠ABC=180°-∠BAD=90°（两直线平行，同旁内角互补）。
由作图知，BE=BC（半径相等）。
∵CF⊥BE，
∴∠CFB=90°。
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠FBC（两直线平行，内错角相等）。
在Rt△ABE中，∠ABE+∠AEB=90°；
在Rt△BCF中，∠BCF+∠FBC=90°。
∵∠AEB=∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF（等角的余角相等）。
在△ABE和△BCF中：
∠AEB=∠FBC，
BE=CB，
∠ABE=∠BCF，
∴△ABE≌△BCF（ASA）。
∴AE=BF（全等三角形对应边相等）。
综上，BF=AE。

15. 在$\triangle ABC$中,$∠BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,l 是过点 A 的一条直线,$BD \perp AE$,$CE \perp AE$。
(1)当直线 l 绕点 A 旋转到如图 1 所示位置时,试证明$DE = BD + CE$；
(2)若直线 l 绕点 A 旋转到如图 2 所示位置时,试证明$DE = BD - CE$；
(3)若直线 l 绕点 A 旋转到如图 3 所示位置时,BD 与 DE,CE 具有怎样的等量关系？请写出结果,不必证明。

答案：
(1)证明：
∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB=∠AEC=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∵∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}∠ADB=∠CEA\\∠ABD=∠CAE\\AB=AC\end{array}\right.$
∴△ABD≌△CAE(AAS)．
∴AD=CE，BD=AE．
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD，即DE=BD+CE．
(2)证明：
∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB=∠AEC=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∵∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠ACE．
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}∠ADB=∠CEA\\∠BAD=∠ACE\\AB=AC\end{array}\right.$
∴△ABD≌△CAE(AAS)．
∴AD=CE，BD=AE．
∵DE=AE-AD，
∴DE=BD-CE．
(3)DE=CE-BD．