《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

14. 如图$1$,在$\triangle ABC$中,$AD\perp BC$,$CE\perp AB$,垂足分别为$D$,$E$.
(1)试猜测$\angle 1与\angle 2$的大小关系,并说明理由；
(2)如图$2$,如果$\angle ABC$是钝角,其余条件不变,(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由.
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答案：
(1) ∠1=∠2。理由：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°。在Rt△ADB中，∠2+∠B=90°；在Rt△CEB中，∠1+∠B=90°。
∴∠1=∠2（同角的余角相等）。
(2) 结论仍然成立，即∠1=∠2。理由：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠D=∠E=90°。
∵∠ABC是钝角，
∴∠ABD=∠CBE=180°-∠ABC。在Rt△ABD中，∠2+∠ABD=90°；在Rt△CBE中，∠1+∠CBE=90°。
∴∠1=∠2（等角的余角相等）。

15. 如图,$AD是\triangle ABC$的角平分线,$E为BC$延长线上一点,$EP\perp AD$,垂足为$P$.
(1)若$\angle B = 35^{\circ}$,$\angle ACB = 85^{\circ}$,求$\angle E$的度数；
(2)若$\angle ACB - \angle B = 30^{\circ}$,求$\angle E$的度数.

答案：
(1)在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-35°-85°=60°。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC/2=30°。
∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=35°+30°=65°。
∵EP⊥AD，
∴∠EPD=90°。
在Rt△EPD中，∠E=90°-∠ADC=90°-65°=25°。
(2)设∠B=x，则∠ACB=x+30°。
在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-x-(x+30°)=150°-2x。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC/2=(150°-2x)/2=75°-x。
∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=x+(75°-x)=75°。
∵EP⊥AD，
∴∠EPD=90°。
在Rt△EPD中，∠E=90°-∠ADC=90°-75°=15°。
(1)25°；
(2)15°。