《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

9. 有 $ a $,$ b $ 两根小棒如图所示,现要将 $ a $,$ b $ 两根小棒中的一根剪成两段与另外一根围成三角形,那么下面剪法中,一定能围成三角形的是(D)

A.$ a $ 小棒任意剪一刀
B.$ b $ 小棒任意剪一刀
C.$ a $ 小棒正中间剪一刀
D.$ b $ 小棒正中间剪一刀
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答案： D

10. 已知三角形的三边长分别为 3,5 和 $ 2x - 1 $,则整数 $ x $ 的最大值为4。

答案： $4$

11. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的 2 倍,这样的三角形叫作“倍长三角形”。若 $ \triangle ABC $ 是“倍长三角形”,有两条边的长分别为 2 和 3,则第三条边的长为1.5或4。

答案： 1.5或4

12. 已知 $ a $,$ b $,$ c $ 为 $ \triangle ABC $ 的三边长。
(1)若 $ b $,$ c $ 满足 $ (b - 2)^2 + |c - 3| = 0 $,且 $ a $ 为方程 $ |a - 4| = 2 $ 的解,求 $ \triangle ABC $ 的周长,并判断 $ \triangle ABC $ 的形状；
(2)若 $ a = 5 $,$ b = 2 $,且 $ c $ 为整数,求 $ \triangle ABC $ 周长的最大值和最小值。

答案：
(1) 因为$(b - 2)^2 + |c - 3| = 0$，且$(b - 2)^2 \geq 0$，$|c - 3| \geq 0$，所以$b - 2 = 0$，$c - 3 = 0$，解得$b = 2$，$c = 3$。
方程$|a - 4| = 2$的解为$a - 4 = 2$或$a - 4 = -2$，即$a = 6$或$a = 2$。
当$a = 6$时，$b + c = 2 + 3 = 5 ＜ 6$，不满足三角形三边关系，舍去；
当$a = 2$时，$2 + 2 ＞ 3$，$2 + 3 ＞ 2$，满足三角形三边关系，故$a = 2$。
$\triangle ABC$的周长为$2 + 2 + 3 = 7$，且$a = b = 2$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
(2) 因为$a = 5$，$b = 2$，根据三角形三边关系，$a - b ＜ c ＜ a + b$，即$5 - 2 ＜ c ＜ 5 + 2$，所以$3 ＜ c ＜ 7$。
因为$c$为整数，所以$c = 4$，$5$，$6$。
周长$= 5 + 2 + c = 7 + c$，当$c = 6$时，周长最大为$7 + 6 = 13$；当$c = 4$时，周长最小为$7 + 4 = 11$。
(1) 周长为$7$，$\triangle ABC$是等腰三角形；
(2) 周长最大值为$13$，最小值为$11$。

13. 已知 $ \triangle ABC $ 的三边长分别为 $ m - 2 $,$ 2m + 1 $,8。
(1)求 $ m $ 的取值范围；
(2)若 $ \triangle ABC $ 是等腰三角形,求 $ \triangle ABC $ 三边的长。

答案：
(1) 根据三角形三边关系及边长为正数，得：
$\begin{cases}m - 2 ＞ 0 \\(m - 2) + (2m + 1) ＞ 8 \\(m - 2) + 8 ＞ 2m + 1 \\(2m + 1) + 8 ＞ m - 2\end{cases}$
解得：$3 ＜ m ＜ 5$。
(2) 分情况讨论：
若$m - 2 = 2m + 1$，则$m = -3$（舍去，不在$3 ＜ m ＜ 5$内）；
若$m - 2 = 8$，则$m = 10$（舍去，不在$3 ＜ m ＜ 5$内）；
若$2m + 1 = 8$，则$m = 3.5$（符合$3 ＜ m ＜ 5$）。
此时三边为：$m - 2 = 1.5$，$2m + 1 = 8$，$8$。
(1) $3 ＜ m ＜ 5$；
(2) 1.5，8，8。