《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

12. (1)设$\overline{abcd}$是一个四位数,其中$a$表示千位上的数字,$b$表示百位上的数字,$c$表示十位上的数字,$d$表示个位上的数字,若$a + b + c + d可以被9$整除,请你证明这个数也可以被$9$整除；
(2)用问题(1)的结论,验证一下$2025能否被9$整除.

答案：
(1)证明：四位数$\overline{abcd}$可表示为$1000a + 100b + 10c + d$。
$\begin{aligned}1000a + 100b + 10c + d&=999a + a + 99b + b + 9c + c + d\\&=(999a + 99b + 9c) + (a + b + c + d)\\&=9(111a + 11b + c) + (a + b + c + d)\end{aligned}$
因为$9(111a + 11b + c)$是9的倍数，且$a + b + c + d$能被9整除，设$a + b + c + d = 9k$（$k$为整数），则原式$=9(111a + 11b + c + k)$，故该四位数能被9整除。
(2)验证：2025各数位数字之和为$2 + 0 + 2 + 5 = 9$，9能被9整除，由
(1)结论知2025能被9整除。
结论：2025能被9整除。

13. 新定义:如果$a$,$b$都是非零整数,且$a = 4b$,那么就称$a$是“$4$倍数”.
验证:通过简便计算判断$12×11 + 9×11 - 19×11$是否是“$4$倍数”.
证明:设三个连续偶数的中间数是$2n$ ($n$是整数),通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“$4$倍数”.

答案： 验证：
$\begin{aligned}12×11 + 9×11 - 19×11&=11×(12 + 9 - 19)\\&=11×2\\&=22\end{aligned}$
因为22不能表示为$4b$（$b$为非零整数），所以原式不是“4倍数”。
证明：
三个连续偶数分别为$2n - 2$，$2n$，$2n + 2$（$n$为整数），其平方和为：
$\begin{aligned}&(2n - 2)^2 + (2n)^2 + (2n + 2)^2\\=&(4n^2 - 8n + 4) + 4n^2 + (4n^2 + 8n + 4)\\=&12n^2 + 8\\=&4(3n^2 + 2)\end{aligned}$
因为$n$是整数，所以$3n^2 + 2$是整数且非零，设$b = 3n^2 + 2$，则平方和$=4b$，故这三个连续偶数的平方和是“4倍数”。