《2025年长江作业本同步练习册八年级数学上册人教版》

11. 我们已经知道角是轴对称图形,角平分线所在的直线是角的对称轴。如图 $1$,$OC$ 是$\angle AOB$ 的平分线,$P$ 是 $OC$ 上任意一点,作 $PD \perp OA$,$PE \perp OB$,垂足分别为 $D$,$E$。将$\angle AOB$ 沿 $OC$ 对折,我们发现 $PD$ 与 $PE$ 完全重合。由此即有角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
定理证明：
(1) 如图 $1$,$OC$ 是$\angle AOB$ 的平分线,点 $P$ 是 $OC$ 上的任意一点,$PD \perp OA$,$PE \perp OB$,垂足分别为 $D$,$E$。求证 $PD = PE$；
定理应用：
(2) 如图 $2$,在$\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle BAC$ 的平分线 $AD$ 交 $CB$ 于点 $D$。若过点 $D$ 作 $DF \perp AB$,垂足为 $F$,点 $E$ 在 $AC$ 上,且 $DE = BD$,请你判断 $AE$,$AF$,$BF$ 之间的数量关系,并说明理由。

答案：
(1)证明：
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC=∠BOC。
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°。在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，
∴△PDO≌△PEO(AAS)，
∴PD=PE。
(2)AE+BF=AF。理由如下：
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DF⊥AB，
∴DC=DF。在Rt△ADC和Rt△ADF中，AD=AD，DC=DF，
∴Rt△ADC≌Rt△ADF(HL)，
∴AC=AF。在Rt△CDE和Rt△FDB中，DE=BD，DC=DF，
∴Rt△CDE≌Rt△FDB(HL)，
∴CE=BF。
∵AC=AE+CE，
∴AF=AE+BF。