《2025年阳光学业评价八年级数学上册人教版》

3. 计算：
(1) $ 3×54^{2} - 12×54×22 + 3×44^{2} $；
(2) $ 2025^{2} - 2024^{2} + 2021^{2} - 2020^{2} $.

答案：
(1)
首先，观察原式 $3 × 54^{2} - 12 × 54 × 22 + 3 × 44^{2}$，可以发现每一项都有公因数3，提取公因数得：
$3(54^{2} - 4 × 54 × 22 + 44^{2})$
接着，观察括号内的部分，它符合完全平方公式 $a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ 的形式，其中 $a = 54$，$b = 44$，代入得：
$3(54 - 44)^{2} = 3 × 10^{2} = 300$
(2)
首先，观察原式 $2025^{2} - 2024^{2} + 2021^{2} - 2020^{2}$，可以利用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$ 进行分解，得：
$(2025 + 2024)(2025 - 2024) + (2021 + 2020)(2021 - 2020)$
然后，计算每一对括号内的和与差，得：
$4049 × 1 + 4041 × 1 = 4049 + 4041 = 8090$

4. $ \triangle ABC $ 的三边长分别为 $ a $,$ b $,$ c $,且 $ a + 3ab = 3bc + c $,请判断 $ \triangle ABC $ 的形状,并说明理由.

答案： △ABC是等腰三角形。理由如下：
由a + 3ab = 3bc + c，移项得a + 3ab - 3bc - c = 0，
分组分解，得(a + 3ab) - (3bc + c) = 0，
提取公因式，得a(1 + 3b) - c(1 + 3b) = 0，
再提取公因式(1 + 3b)，得(1 + 3b)(a - c) = 0，
∵b为△ABC的边长，
∴b ＞ 0，
∴1 + 3b ＞ 0，
∴a - c = 0，即a = c，
∴△ABC是等腰三角形。

1. 分组分解法.
有的多项式各项既没有公因式,也不能直接运用公式分解因式,但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组,利用分组来分解一个多项式的因式,这种方法叫分组分解法.它并不是一种独立的因式分解的方法,而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件.
例如：分解因式 $ x^{2} - bx - a^{2} + ab $.
解：原式 $ = (x^{2} - a^{2}) - (bx - ab) $
$ = (x - a)(x + a) - b(x - a) $
$ = (x - a)(x + a - b) $.
请尝试把下列多项式分解因式：
(1) $ a^{2} - b^{2} - c^{2} + 2bc $；
(2) $ x^{2} - y^{2} + 2x - 2y $.

答案：
(1)
解：原式 $= a^{2} - (b^{2} - 2bc + c^{2})$
$= a^{2} - (b - c)^{2}$
$= (a + b - c)(a - b + c)$
(2)
解：原式 $= (x^{2} - y^{2}) + (2x - 2y)$
$= (x + y)(x - y) + 2(x - y)$
$= (x - y)(x + y + 2)$