《2025年阳光学业评价八年级数学上册人教版》

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,点$D$,$E$,$F分别在AB$,$BC$,$AC$边上,且$BE = CF$,$BD = CE$.
(1)求证：$\triangle DEF$是等腰三角形；
(2)当$∠A = 50^{\circ}$时,求$∠DEF$的度数.
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答案：
(1)
因为$AB = AC$，所以$\angle B = \angle C$。
已知$BD = CE$，$BE = CF$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CEF$中，
$\begin{cases}BD = CE\\\angle B = \angle C\\BE = CF\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle BDE\cong\triangle CEF$。
所以$DE = EF$，故$\triangle DEF$是等腰三角形。
(2)
由$\triangle BDE\cong\triangle CEF$，可得$\angle BDE=\angle CEF$。
因为$\angle A = 50^{\circ}$，$AB = AC$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，则$\angle B=\angle C=\frac{1}{2}×(180^{\circ}-50^{\circ}) = 65^{\circ}$。
在$\triangle BDE$中，$\angle BDE+\angle BED = 180^{\circ}-\angle B=115^{\circ}$。
因为$\angle BDE=\angle CEF$，所以$\angle CEF+\angle BED = 115^{\circ}$。
又因为$\angle CEF+\angle BED+\angle DEF = 180^{\circ}$，所以$\angle DEF = 65^{\circ}$。
综上，
(1)已证$\triangle DEF$是等腰三角形；
(2)$\angle DEF$的度数为$65^{\circ}$。

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 20\ cm$,$AC = 12\ cm$,点$P从点B出发以3\ cm/s的速度向点A$运动,同时点$Q从点A出发以2\ cm/s的速度向点C$运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.当$\triangle APQ是以PQ$为底的等腰三角形时,运动的时间是多少？
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答案： 设运动时间为$ t $秒。
由题意得：
点$ P $从$ B $向$ A $运动，速度为$ 3\,cm/s $，则$ BP = 3t\,cm $，
$ AB = 20\,cm $，故$ AP = AB - BP = (20 - 3t)\,cm $；
点$ Q $从$ A $向$ C $运动，速度为$ 2\,cm/s $，则$ AQ = 2t\,cm $。
因为$ \triangle APQ $以$ PQ $为底，所以等腰三角形的两腰为$ AP $和$ AQ $，即$ AP = AQ $。
列方程：$ 20 - 3t = 2t $，
解得$ t = 4 $。
验证：点$ P $到达$ A $需$ \frac{20}{3} \approx 6.67\,s $，点$ Q $到达$ C $需$ \frac{12}{2} = 6\,s $，运动停止时间为$ 6\,s $，$ t = 4 ＜ 6 $，符合题意。
答：运动的时间是$ 4\,s $。

1. 已知$\triangle ABC$是等边三角形,下列判断错误的是(D)。
A.$AB = BC = AC$
B.$\angle A = \angle B = \angle C = 60^{\circ}$
C.$AB = BC$,$\angle B = 60^{\circ}$
D.只有一条对称轴

答案： D