《2025年阳光学业评价八年级数学上册人教版》

1. 用三角尺可按下列方法画角的平分线：如图摆放使得三角板刻度相同,即$PM= PN$,画射线$OP$,则$OP平分\angle AOB作图过程用到了\triangle OMP≌\triangle ONP$,那么$\triangle OMP≌\triangle ONP$所用的判定定理是(C).

A.$SSS$
B.$AAS$
C.$HL$
D.$ASA$

答案： C

2. 如图,$AB= 12m$,$CA\perp AB于点A$,$DB\perp AB于点B$,且$AC= 4m$,点$P从B向A$运动,每分钟走$1m$,点$Q从B向D$运动,每分钟走$2m$,$P$,$Q$两点同时出发,运动(4)分钟后,$\triangle CAP与\triangle PBQ$全等.

A.$2或6$
B.$3$
C.$4$
D.$4或6$

答案： 设运动$ t $分钟后，$\triangle CAP$与$\triangle PBQ$全等。
由题意得：$ BP = t \, m $，$ BQ = 2t \, m $，$ AP = AB - BP = (12 - t) \, m $。
因为$ CA \perp AB $，$ DB \perp AB $，所以$\angle A = \angle B = 90°$。
情况1：当$\triangle CAP \cong \triangle PBQ$时
则$ AC = BP $，$ AP = BQ $，
即$\begin{cases} 4 = t \\ 12 - t = 2t \end{cases}$
解得$ t = 4 $，且$ 12 - 4 = 8 = 2 × 4 $，成立。
情况2：当$\triangle CAP \cong \triangle QBP$时
则$ AC = BQ $，$ AP = BP $，
即$\begin{cases} 4 = 2t \\ 12 - t = t \end{cases}$
解得$ t = 2 $，但$ 12 - 2 = 10 \neq 2 $，矛盾，舍去。
综上，$ t = 4 $。
答案：C

3. 如图,$AC交BD于点O$,请你从下列三项中选出两项作为条件,另一项作为结论,写出一个真命题,并加以证明.
①$OA= OC$；②$OB= OD$；③$AB// DC$.

答案： 条件：①②；结论：③
证明：在△AOB和△COD中，
∵OA=OC（已知），
∠AOB=∠COD（对顶角相等），
OB=OD（已知），
∴△AOB≌△COD（SAS）。
∴∠OAB=∠OCD（全等三角形对应角相等）。
∴AB//DC（内错角相等，两直线平行）。
条件：①③；结论：②
证明：
∵AB//DC（已知），
∴∠OAB=∠OCD（两直线平行，内错角相等）。
在△AOB和△COD中，
∵∠OAB=∠OCD（已证），
OA=OC（已知），
∠AOB=∠COD（对顶角相等），
∴△AOB≌△COD（ASA）。
∴OB=OD（全等三角形对应边相等）。
条件：②③；结论：①
证明：
∵AB//DC（已知），
∴∠OAB=∠OCD（两直线平行，内错角相等）。
在△AOB和△COD中，
∵∠OAB=∠OCD（已证），
∠AOB=∠COD（对顶角相等），
OB=OD（已知），
∴△AOB≌△COD（AAS）。
∴OA=OC（全等三角形对应边相等）。

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$D是BC$的中点,$DE\perp AB$,$DF\perp AC$,垂足分别是$E$,$F$,$BE= CF$.
(1)图中有几对全等的三角形？请一一列出.
(2)选择一对你认为全等的三角形进行证明.

答案：
(1) 3对，分别是：△BDE≌△CDF，△ADE≌△ADF，△ABD≌△ACD。
(2) 证明△BDE≌△CDF：
∵D是BC的中点，
∴BD=CD。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l} BD=CD \\ BE=CF \end{array}\right.$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）。