《2025年阳光学业评价八年级数学上册人教版》

4. 如图,四边形ABCD中,AD= 4,BC= 1,∠A= 30°,∠B= 90°,∠ADC= 120°,求CD的长.
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答案： 延长$DC$，$BA$相交于点$E$。
因为$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle ADC = 120^{\circ}$，
所以$\angle E = 120^{\circ}- 30^{\circ}= 30^{\circ}$。
所以$\triangle AED$是等腰三角形。
因为$\angle B = 90^{\circ}$，$\angle E = 30^{\circ}$，
在$Rt\triangle BEC$ 中，$BC = 1$，
根据在直角三角形中，$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，
所以$EC=2BC = 2$。
因为$\angle A = \angle E = 30^{\circ}$，
所以$DE = AD = 4$（等角对等边）。
所以$CD=DE - EC=4 - 2 = 2$。
综上，$CD$的长为$2$。

1. 在如图的正方形网格中,网格线的交点称为格点. 已知点A,B是两格点. 若点C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数有(C).

A.6个
B.7个
C.8个
D.9个
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答案： C

2. 如图,AD是等边三角形ABC的BC边上的高,AD= 6,M是AD上的动点,E是AC边的中点,则EM+CM的最小值为6.

答案： 6

3. 如图,在等边三角形ABC中,点E是AC边上一定点,点D是直线BC上一动点,以DE为一边作等边三角形DEF,连接CF.
【问题解决】如图①,若点D在BC上,求证：CE+CF= CD.
【类比探究】如图②,若点D在BC的延长线上,请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系,并说明理由.
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答案： 【问题解决】
证明：在$CD$上截取$CG=CE$，连接$EG$。
∵$\triangle ABC$是等边三角形，
∴$\angle ACB=60°$。
∵$CG=CE$，$\angle ACB=60°$，
∴$\triangle CEG$是等边三角形。
∴$EG=CE=CG$，$\angle EGC=60°$，$\angle EGD=180°-\angle EGC=120°$。
∵$\triangle DEF$是等边三角形，
∴$DE=DF$，$\angle EDF=60°$。
∵$\angle EGC=60°$，$\angle EDF=60°$，
∴$\angle EDG+\angle GDF=60°$，$\angle FDC+\angle GDF=60°$，
∴$\angle EDG=\angle FDC$。
∵$\angle ACB=60°$，
∴$\angle FCD=180°-\angle ACB=120°$，即$\angle EGD=\angle FCD=120°$。
在$\triangle DEG$和$\triangle DFC$中：
$\begin{cases}\angle EDG=\angle FDC\\\angle EGD=\angle FCD\\DE=DF\end{cases}$
∴$\triangle DEG\cong\triangle DFC(AAS)$，
∴$DG=CF$。
∵$CD=CG+GD$，$CG=CE$，$GD=CF$，
∴$CD=CE+CF$，即$CE+CF=CD$。
【类比探究】
结论：$CF=CE+CD$。
证明：在$DC$的延长线上截取$CG=CE$，连接$EG$。
∵$\triangle ABC$是等边三角形，
∴$\angle ACB=60°$，
∴$\angle DCE=60°$。
∵$CG=CE$，$\angle DCE=60°$，
∴$\triangle CEG$是等边三角形。
∴$EG=CE=CG$，$\angle CGE=60°$，$\angle EGD=60°$。
∵$\triangle DEF$是等边三角形，
∴$DE=DF$，$\angle EDF=60°$。
∵$\angle EDF=60°$，$\angle CGE=60°$，
∴$\angle GDE+\angle EDC=60°$，$\angle FDC+\angle EDC=60°$，
∴$\angle GDE=\angle FDC$。
∵$\angle ACB=60°$，
∴$\angle FCD=60°$，即$\angle EGD=\angle FCD=60°$。
在$\triangle DEG$和$\triangle DFC$中：
$\begin{cases}\angle GDE=\angle FDC\\\angle EGD=\angle FCD\\DE=DF\end{cases}$
∴$\triangle DEG\cong\triangle DFC(AAS)$，
∴$DG=CF$。
∵$DG=CD+CG$，$CG=CE$，
∴$CF=CD+CE$。