《2025年阳光学业评价八年级数学上册人教版》

6. 先化简,再求值：$\frac{x^{2}+3xy}{x^{2}+6xy + 9y^{2}}$,其中$x = 2$,$y = - 1$.

答案： 化简过程：
$\begin{aligned}\frac{x^{2}+3xy}{x^{2}+6xy + 9y^{2}}&=\frac{x(x + 3y)}{(x + 3y)^2}\\&=\frac{x}{x + 3y}\end{aligned}$
代入求值：
当 $x = 2$，$y = -1$ 时，
$\frac{x}{x + 3y}=\frac{2}{2 + 3×(-1)}=\frac{2}{2 - 3}=\frac{2}{-1}=-2$
答案：$-2$

1. 把分式$\frac{1}{x + 2}$,$\frac{1}{2x - 4}$,$\frac{1}{x^{2}-4}$进行通分,它们的最简公分母是(B).
A.$2(x - 4)^{2}$
B.$2(x^{2}-4)$
C.$2(x + 2)(x - 4)$
D.$(x + 2)(x - 4)$

答案： B

2. 下列约分正确的是(D).

A.$\frac{a^{8}}{a^{4}}= a^{2}$
B.$\frac{b^{2}+c^{2}}{a^{2}+c^{2}}= \frac{b^{2}}{a^{2}}$
C.$\frac{a^{2}+4b^{2}}{a + 2b}= a + 2b$
D.$\frac{(1 - a)(3 - a)}{(a - 1)(a - 3)}= 1$

答案： D

3. 已知$x＞4$,代数式：$A = 4x^{2}-12x$,$B = 3x^{2}-27$,$C = x^{3}-6x^{2}+9x$.
(1)因式分解$A$；
(2)在$A$,$B$,$C$中任选两个代数式,分别作为分子、分母,组成一个分式,并化简该分式.

答案：
(1)因式分解$A$：
$A = 4x^{2} - 12x$
$= 4x(x - 3)$
(2)选择$A$作为分子，$B$作为分母组成分式并化简：
$\frac{A}{B} = \frac{4x^{2} - 12x}{3x^{2} - 27}$
$= \frac{4x(x - 3)}{3(x^{2} - 9)}$
$= \frac{4x(x - 3)}{3(x + 3)(x - 3)}$
$= \frac{4x}{3(x + 3)}$
（选择其他组合方式，如$\frac{B}{A}$，$\frac{A}{C}$，$\frac{C}{A}$，$\frac{B}{C}$，$\frac{C}{B}$等，化简步骤类似，以下以$\frac{C}{B}$为例）
选择$C$作为分子，$B$作为分母组成分式并化简：
$\frac{C}{B} = \frac{x^{3} - 6x^{2} + 9x}{3x^{2} - 27}$
$= \frac{x(x^{2} - 6x + 9)}{3(x^{2} - 9)}$
$= \frac{x(x - 3)^{2}}{3(x + 3)(x - 3)}$
$= \frac{x(x - 3)}{3(x + 3)}$

4. 已知$a+\frac{1}{a}= 2$,且$\frac{3a^{4}-2a^{2}x + 3}{a^{3}+3a^{2}x + a}= 2$,求$x$的值.

答案： 由$a + \frac{1}{a} = 2$，两边同乘$a$（$a \neq 0$）得$a^2 + 1 = 2a$，即$a^2 - 2a + 1 = 0$，$(a - 1)^2 = 0$，解得$a = 1$。
将$a = 1$代入$\frac{3a^4 - 2a^2x + 3}{a^3 + 3a^2x + a} = 2$，分子为$3×1^4 - 2×1^2x + 3 = 6 - 2x$，分母为$1^3 + 3×1^2x + 1 = 2 + 3x$，方程化为$\frac{6 - 2x}{2 + 3x} = 2$。
两边同乘$2 + 3x$（$2 + 3x \neq 0$）得$6 - 2x = 2(2 + 3x)$，即$6 - 2x = 4 + 6x$，移项得$8x = 2$，解得$x = \frac{1}{4}$。
检验：当$x = \frac{1}{4}$时，$2 + 3x = 2 + 3×\frac{1}{4} = \frac{11}{4} \neq 0$，故$x = \frac{1}{4}$是原方程的解。
$x = \frac{1}{4}$