《2025年阳光学业评价八年级数学上册人教版》

3. 阅读材料,回答问题。
因为 $(x + 1)(x - 2) = x^{2} - x - 2$,所以 $(x^{2} - x - 2) ÷ (x - 2) = x + 1$。这说明 $x^{2} - x - 2$ 能被 $x - 2$ 整除,同时也说明多项式 $x^{2} - x - 2$ 有一个因式为 $x - 2$；另外,当 $x = 2$ 时,多项式 $x^{2} - x - 2$ 的值为零。
(1)根据上面的材料猜想：多项式的值为 $0$,多项式有因式 $x - 2$,多项式能被 $x - 2$ 整除,这之间存在着一种什么样的联系？
(2)探求规律：一般地,如果对于一个关于字母 $x$ 的多项式 $M$,当 $x = k$ 时,$M$ 的值为 $0$,那么 $M$ 与代数式 $x - k$ 之间有何种关系？
(3)应用：利用上面的结果求解,已知 $x - 2$ 能整除 $x^{2} + kx - 10$,求 $k$。

答案：
(1)答：当多项式的值为$0$、多项式有因式$x - 2$、多项式能被$x - 2$整除这三者之间是等价关系，即同一多项式满足其中一种情况，必然满足另外两种情况。
(2)答：多项式$M$能被$x - k$整除，即$M=(x - k)Q$（$Q$为整式），$x - k$是多项式$M$的一个因式。
(3)因为当$x = 2$时，多项式$x^{2}+kx - 10$的值为$0$，把$x = 2$代入$x^{2}+kx - 10$得：
$2^{2}+2k - 10 = 0$，
$4 + 2k - 10 = 0$，
$2k=6$，
解得$k = 3$。

1. 计算：$(3a + 2)(3a - 2)$的结果是(B).
A.$3a^{2} - 4$
B.$9a^{2} - 4$
C.$9a^{2} - 2$
D.$3a^{2} - 2$

答案： B

2. 下列计算正确的是(D).

A.$(a + 3)(a - 3) = a^{2} - 6$
B.$(a + 9)(a - 9) = a^{2} - 9$
C.$(2a + 3)(2a - 3) = 2a^{2} - 9$
D.$(2a + 5)(2a - 5) = 4a^{2} - 25$

答案： D