《2025年阳光学业评价八年级数学上册人教版》

1. 小明、小华、小颖解答这样一个问题：$a$为何值时,$\frac{|a - 1|}{a^{2}+2a - 3}= \frac{1}{a + 3}$成立?
小明：因为$a^{2}+2a - 3= (a - 1)(a + 3)$,从分式的右边知,分式左边的分子和分母同时除以$a - 1$即可满足要求,此时$a - 1不能等于0$,故$a的取值范围是a\ne1$.
小华：因为$a + 3$也不能为零,故还应加上$a\ne - 3$这个条件,即$a的取值范围就是a\ne - 3且a\ne1$.
小颖：因为$|a - 1|= \pm(a - 1)$,要使分子、分母约去$a - 1$,则必须满足$a - 1＞0$,结合$a\ne - 3和a\ne1$,解出$a＞1$,即$a的取值范围为a＞1$.
三名同学中谁说得有道理呢? 请你给出完整的解题过程.

答案： 要使$\frac{|a - 1|}{a^{2}+2a - 3}= \frac{1}{a + 3}$成立，需满足以下条件：
1. 分母不为零
左边分式分母：$(a - 1)(a + 3) \neq 0$，即$a \neq 1$且$a \neq -3$；
右边分式分母：$a + 3 \neq 0$，即$a \neq -3$；
综上，分母不为零的条件是$a \neq 1$且$a \neq -3$。
2. 分子化简条件
左边分式可化为$\frac{|a - 1|}{(a - 1)(a + 3)}$，要使等式成立，需$\frac{|a - 1|}{(a - 1)(a + 3)} = \frac{1}{a + 3}$。
两边同乘$a + 3$（$a + 3 \neq 0$），得$\frac{|a - 1|}{a - 1} = 1$。
因为$\frac{|a - 1|}{a - 1} = \begin{cases} 1, & a - 1 ＞ 0, \\ -1, & a - 1 ＜ 0, \\ 无意义, & a - 1 = 0, \end{cases}$
所以$\frac{|a - 1|}{a - 1} = 1$等价于$a - 1 ＞ 0$，即$a ＞ 1$。
3. 综合条件
结合分母不为零（$a \neq 1$且$a \neq -3$）和分子化简条件（$a ＞ 1$），得$a ＞ 1$。
结论：小颖说得有道理，$a$的取值范围为$a ＞ 1$。

2. 阅读材料.
定义：若一个分式约分后是一个整式,则称这个分式为“巧分式”,约分后的整式称为这个分式的“巧整式”. 例如：$\frac{3x^{2}-12}{x + 2}= \frac{3(x + 2)(x - 2)}{x + 2}= 3x - 6$,则称分式$\frac{3x^{2}-12}{x + 2}$是“巧分式”,$3x - 6$为它的“巧整式”.
根据上述定义,解决下列问题：
(1)下列分式中是“巧分式”的有______.(填序号)
①$\frac{2x + 3}{3x + 2}$；②$\frac{6x^{2}-12xy + 6y^{2}}{3x - 3y}$；③$\frac{2x + 10}{x^{2}-25}$.
(2)若分式$\frac{-2x^{2}+2x}{A}$的“巧整式”为$1 - x$,请判断$\frac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{A}$是否是“巧分式”. 若是,请求出它的“巧整式”；若不是,请说明理由.
②
因为分式$\frac{-2x^{2}+2x}{A}$的“巧整式”为$1 - x$，由“巧分式”定义可知$\frac{-2x^{2}+2x}{A}=1 - x$（$A$为约分后的分母，即约分时除的整式），则$A=\frac{-2x^{2}+2x}{1 - x}=\frac{-2x(x - 1)}{-(x - 1)} = 2x$。
对于分式$\frac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{A}$，把$A = 2x$代入得$\frac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{2x}=\frac{2x(x^{2}+2x + 1)}{2x}=x^{2}+2x + 1=(x + 1)^{2}$。
因为约分后是整式，所以$\frac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{A}$是“巧分式”，它的“巧整式”为$(x + 1)^{2}$。

答案：
(1)②
(2)
因为分式$\frac{-2x^{2}+2x}{A}$的“巧整式”为$1 - x$，由“巧分式”定义可知$\frac{-2x^{2}+2x}{A}=1 - x$（$A$为约分后的分母，即约分时除的整式），则$A=\frac{-2x^{2}+2x}{1 - x}=\frac{-2x(x - 1)}{-(x - 1)} = 2x$。
对于分式$\frac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{A}$，把$A = 2x$代入得$\frac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{2x}=\frac{2x(x^{2}+2x + 1)}{2x}=x^{2}+2x + 1=(x + 1)^{2}$。
因为约分后是整式，所以$\frac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{A}$是“巧分式”，它的“巧整式”为$(x + 1)^{2}$。