《2025年阳光学业评价八年级数学上册人教版》

1. 有若干张如图所示的正方形和长方形卡片。

(1)选用若干张卡片拼成面积为 $(a + b)(3a + 2b)$ 的大长方形,在下面的表格中填写所选的卡片数量。
| 卡片序号 | ① | ② | ③ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 数量/张 | 3 | 5 | 2 |

(2)画图说明你的拼图方案。
大长方形的长为 $3a + 2b$，宽为 $a + b$。在水平方向上，从左到右依次放置 3 个边长为 $a$ 的正方形（卡片①）和 2 个边长为 $b$ 的正方形（卡片③）；在垂直方向上，先放置 1 层由 3 个卡片①和 2 个卡片③组成的行，再在其下方放置 1 层由 3 个长为 $a$、宽为 $b$ 的长方形（卡片②）和 2 个卡片③组成的行，其中 3 个卡片②分别与上方的 3 个卡片①对应，2 个卡片③与上方的 2 个卡片③对应，整体构成大长方形。（注：此处文字描述拼图方案，实际答题时需画出图形，长方形的长由 3 个 $a$ 和 2 个 $b$ 拼接而成，宽由 1 个 $a$ 和 1 个 $b$ 拼接而成，内部相应位置放置对应数量的卡片①、②、③）

答案：
(1)
| 卡片序号 | ① | ② | ③ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 数量/张 | 3 | 5 | 2 |
(2) 画图说明：大长方形的长为 $3a + 2b$，宽为 $a + b$。在水平方向上，从左到右依次放置 3 个边长为 $a$ 的正方形（卡片①）和 2 个边长为 $b$ 的正方形（卡片③）；在垂直方向上，先放置 1 层由 3 个卡片①和 2 个卡片③组成的行，再在其下方放置 1 层由 3 个长为 $a$、宽为 $b$ 的长方形（卡片②）和 2 个卡片③组成的行，其中 3 个卡片②分别与上方的 3 个卡片①对应，2 个卡片③与上方的 2 个卡片③对应，整体构成大长方形。（注：此处文字描述拼图方案，实际答题时需画出图形，长方形的长由 3 个 $a$ 和 2 个 $b$ 拼接而成，宽由 1 个 $a$ 和 1 个 $b$ 拼接而成，内部相应位置放置对应数量的卡片①、②、③）

2. 观察下列各式。
$(x - 1)(x + 1) = x^{2} - 1$,
$(x - 1)(x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$,
$(x - 1)(x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$,
…
(1)根据以上规律,则 $(x - 1)(x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) = $$x^{7}-1$,$(x - 1)(x^{n} + x^{n - 1} + … + x^{2} + x + 1) = $$x^{n + 1}-1$；
(2)试求 $1 + 2 + 2^{2} + … + 2^{19} + 2^{20}$ 的值。
$2^{21}-1$

答案：
(1)
第一空：根据所给式子的规律，可得$(x - 1)(x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1)=x^{7}-1$；
第二空：同理$(x - 1)(x^{n}+x^{n - 1}+\cdots+x^{2}+x + 1)=x^{n + 1}-1$。
(2)
由
(1)可知$x^{n}+x^{n - 1}+\cdots+x^{2}+x + 1=\frac{x^{n + 1}-1}{x - 1}(x\neq1)$。
令$x = 2$，$n=20$，则$1+2+2^{2}+\cdots+2^{19}+2^{20}=\frac{2^{21}-1}{2 - 1}=2^{21}-1$。
综上，答案依次为：
(1)$x^{7}-1$；$x^{n + 1}-1$；
(2)$2^{21}-1$。