《2025年阳光学业评价八年级数学上册人教版》

13. 如图,现有三个村庄,村庄$B在村庄A的南偏东60^{\circ}$方向,村庄$B在村庄C的南偏西45^{\circ}$方向.从村庄$B看村庄A$,$C的视角\angle ABC$的度数是多少？

答案： 过点B作BF⊥AD，垂足为F。
因为AD、CE均为正南方向，所以AD//CE，BF//AD//CE。
由题意得∠DAB=60°，∠ECB=45°。
因为AD//BF，所以∠ABF=∠DAB=60°（两直线平行，内错角相等）。
因为BF//CE，所以∠FBC=∠ECB=45°（两直线平行，内错角相等）。
所以∠ABC=∠ABF+∠FBC=60°+45°=105°。
答案：105°

14. 用一条长为$25\mathrm{cm}$的铁丝围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的$2$倍,那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边长是$6\mathrm{cm}$的等腰三角形吗？

答案：
(1)设底边长为$x\ cm$，则腰长为$2x\ cm$，依题意得：
$x + 2x + 2x = 25$，解得$x = 5$，腰长为$2x = 10\ cm$。
验证：$10 + 5 ＞ 10$，$10 + 10 ＞ 5$，满足三角形三边关系。
各边长为$10\ cm$，$10\ cm$，$5\ cm$。
(2)分两种情况讨论：
①若$6\ cm$为腰长，则底边长为$25 - 6 - 6 = 13\ cm$。
验证：$6 + 6 = 12 ＜ 13$，不满足三角形三边关系，舍去。
②若$6\ cm$为底边长，则腰长为$(25 - 6)÷2 = 9.5\ cm$。
验证：$9.5 + 9.5 = 19 ＞ 6$，$9.5 + 6 ＞ 9.5$，满足三角形三边关系。
能围成，三边长为$9.5\ cm$，$9.5\ cm$，$6\ cm$。

15. 如图,$\angle DCB = 90^{\circ}$,点$A在CD$上,$\triangle ABC的外角\angle EAC的平分线AP与\angle ABC的平分线BP相交于点P$.
(1)若$\angle BAC = 50^{\circ}$,求$\angle P$的度数.
(2)当点$A在CD$上运动时(不与点$C$重合),$\angle P$的大小是否改变？请说明理由.

答案：
(1)
因为$\angle EAC = 180^{\circ}-\angle BAC=130^{\circ}$，
由角平分线的性质，$AP$平分$\angle EAC$，则$\angle EAP=\frac{1}{2}\angle EAC = 65^{\circ}$；
$BP$平分$\angle ABC$，设$\angle ABP = \angle PBC=x$，
在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle BAC = 50^{\circ}$，所以$\angle ABC=40^{\circ}$，则$x = 20^{\circ}$。
在$\triangle ABP$中，$\angle EAP=\angle ABP+\angle P$，
所以$\angle P=\angle EAP-\angle ABP=65^{\circ}- 20^{\circ}=45^{\circ}$。
(2)
当点$A$在$CD$上运动时（不与点$C$重合），$\angle P$的大小不变。
理由如下：
因为$\angle EAC=\angle ABC + \angle C$，所以$\frac{1}{2}\angle EAC=\frac{1}{2}\angle ABC+\frac{1}{2}\angle C$。
又因为$\angle EAP=\angle ABP+\angle P$，且$\angle EAP=\frac{1}{2}\angle EAC$，$\angle ABP=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle C = 90^{\circ}$，则$\frac{1}{2}(\angle ABC + 90^{\circ})=\frac{1}{2}\angle ABC+\angle P$，
化简可得$\angle P = 45^{\circ}$。
综上，
(1)$\angle P$的度数为$45^{\circ}$；
(2)当点$A$在$CD$上运动时（不与点$C$重合），$\angle P$的大小不变，始终为$45^{\circ}$。