《2025年阳光学业评价八年级数学上册人教版》

6. 如图,$AD平分\angle BAC和\angle BDC$. 求证：
(1)$\triangle ABD\cong\triangle ACD$；
(2)$AD垂直平分BC$.
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答案： （1）
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∵AD平分∠BDC，
∴∠ADB=∠ADC．
在△ABD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠BAD=∠CAD\\ AD=AD\\ ∠ADB=∠ADC\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD（ASA）．
（2）
∵△ABD≌△ACD，
∴AB=AC，BD=CD．
∴点A在线段BC的垂直平分线上，点D在线段BC的垂直平分线上．
∵两点确定一条直线，
∴AD垂直平分BC．

1. 如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$E为CD$的中点,连接$AE$,$BE$,$BE\perp AE$,延长$AE交BC的延长线于点F$. 求证：
(1)$FC = AD$；
(2)$AB = BC + AD$.
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答案： （1）
∵$AD// BC$（已知），
∴$\angle DAF = \angle CFA$（两直线平行，内错角相等）。
∵$E$是$CD$的中点，
∴$DE = CE$（中点定义）。
在$\triangle ADE$和$\triangle FCE$中，
$\begin{cases}\angle DAF = \angle CFA\\\angle AED = \angle FEC（对顶角相等）\\DE = CE\end{cases}$
∴$\triangle ADE\cong\triangle FCE(AAS)$。
∴$FC = AD$（全等三角形的对应边相等）。
（2）
由（1）知$\triangle ADE\cong\triangle FCE$，
∴$AE = EF$（全等三角形的对应边相等）。
∵$BE\perp AE$（已知），
∴$\angle AEB = 90^{\circ}$（垂直定义）。
在$\triangle ABE$和$\triangle FBE$中，
$\begin{cases}AE = EF\\\angle AEB = \angle FEB = 90^{\circ}\\BE = BE\end{cases}$
∴$\triangle ABE\cong\triangle FBE(SAS)$。
∴$AB = BF$（全等三角形的对应边相等）。
∵$BF=BC + CF$，
又
∵$FC = AD$，
∴$AB = BC + AD$。

2. 如图,线段$AB$,$AC的垂直平分线相交于点P$. 求证：$PB = PC$.
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答案： 证明：
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∵点P在线段AC的垂直平分线上，
∴PA=PC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∴PB=PC（等量代换）。