《2025年阳光学业评价八年级数学上册人教版》

15. 如图①,在四边形$ABCD$中,$AB = BC = CD = AD = 4\mathrm{cm}$,$\angle BAD = \angle B = \angle C = \angle ADC = 90^{\circ}$,点$P以1\mathrm{cm/s}的速度自点A向终点B$运动,点$Q同时以1\mathrm{cm/s}的速度自点B向终点C$运动,连接$AQ$,$DP$,设运动时间为$t\mathrm{s}$.
(1)当$t = $4$\mathrm{s}$时,点$P到达点B$.
(2)求证：在运动过程中,$\triangle ABQ\cong\triangle DAP$始终成立.
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠DAP=90°。
∵点P、Q速度均为1cm/s，运动时间为t s，∴AP=BQ=t cm。
在△ABQ和△DAP中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=DA \\ ∠ABQ=∠DAP \\ BQ=AP\end{array}\right.$
∴△ABQ≌△DAP(SAS)。
(3)如图②,作$QM// PD$,且$QM = PD$,作$MN\perp射线BC于点N$,连接$CM$. 请问在$Q$运动的过程中,$\triangle CMN$的形状是否改变？如果不变,请说明$\triangle CMN$的形状；如果改变,请说明理由.
形状不变，△CMN是等腰直角三角形。
理由：设运动时间为t s，由题意得AP=BQ=t cm，AB=BC=4 cm。
∵四边形ABCD是正方形，∴A(0,4)，B(0,0)，C(4,0)，D(4,4)，P(0,4-t)，Q(t,0)。
∵QM//PD且QM=PD，PD向量为(4,t)，∴M(t+4,t)。
∵MN⊥射线BC，∴N(t+4,0)。
∴CN=(t+4)-4=t，MN=t-0=t，∠CNM=90°。
∴CN=MN，∠CNM=90°，故△CMN为等腰直角三角形。

答案：
(1) 4
(2) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠DAP=90°。
∵点P、Q速度均为1cm/s，运动时间为t s，
∴AP=BQ=t cm。
在△ABQ和△DAP中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=DA \\ ∠ABQ=∠DAP \\ BQ=AP\end{array}\right.$
∴△ABQ≌△DAP(SAS)。
(3) 形状不变，△CMN是等腰直角三角形。
理由：设运动时间为t s，由题意得AP=BQ=t cm，AB=BC=4 cm。
∵四边形ABCD是正方形，
∴A(0,4)，B(0,0)，C(4,0)，D(4,4)，P(0,4-t)，Q(t,0)。
∵QM//PD且QM=PD，PD向量为(4,t)，
∴M(t+4,t)。
∵MN⊥射线BC，
∴N(t+4,0)。
∴CN=(t+4)-4=t，MN=t-0=t，∠CNM=90°。
∴CN=MN，∠CNM=90°，故△CMN为等腰直角三角形。