《2025年阳光学业评价八年级数学上册人教版》

3. 如图,$\angle BEF$,$\angle EFD的平分线交于点P$,$\angle P= 90^{\circ}$. 求证：$AB// CD$.

答案： 证明：
∵EP平分∠BEF，FP平分∠EFD（已知），
∴∠BEF=2∠PEF，∠EFD=2∠PFE（角平分线定义）。
在△PEF中，∠P=90°（已知），
∴∠PEF+∠PFE=180°-∠P=180°-90°=90°（三角形内角和定理）。
∴∠BEF+∠EFD=2∠PEF+2∠PFE=2(∠PEF+∠PFE)=2×90°=180°。
∵∠BEF与∠EFD是直线AB，CD被EF所截得的同旁内角（如图），
∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）。

4. 如图,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$\mathrm{Rt}\triangle ABC的角平分线AD和BE相交于点P$. 求$\angle APB$的度数.

答案： 因为在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，
所以$\angle BAC + \angle ABC = 90^{\circ}$。
因为$AD$，$BE$分别是$\angle BAC$，$\angle ABC$的角平分线，
所以$\angle BAP=\frac{1}{2}\angle BAC$，$\angle ABP = \frac{1}{2}\angle ABC$。
则$\angle BAP+\angle ABP=\frac{1}{2}(\angle BAC + \angle ABC)=\frac{1}{2}×90^{\circ}=45^{\circ}$。
在$\triangle APB$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，
可得$\angle APB = 180^{\circ}-(\angle BAP+\angle ABP)=180^{\circ}- 45^{\circ}=135^{\circ}$。
故$\angle APB$的度数为$135^{\circ}$。

1. 求图中各未知角的度数：$∠1= $100°；$∠2= $70°；$∠3= $40°；$∠4= $130°.

答案： 100°；70°；40°；130°