《2025年阳光学业评价八年级数学上册人教版》

12. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中, $ AD // BC $,对角线 $ AC $ 的中点为 $ O $,过点 $ O $ 作 $ AC $ 的垂线分别与 $ AD $, $ BC $ 相交于点 $ E $, $ F $,连接 $ AF $. 求证： $ AE = AF $.

答案： 证明：
∵AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）．
∵O是AC中点，
∴AO=CO．
∵EF⊥AC，
∴∠AOE=∠COF=90°．
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠EAO=∠FCO,\\ AO=CO,\\ ∠AOE=∠COF,\end{array}\right.$
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴AE=CF（全等三角形对应边相等）．
∵EF垂直平分AC（EF⊥AC且O为AC中点），
∴AF=CF（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）．
∴AE=AF．

13. 如图,已知 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC $.
(1)尺规作图：作 $ AB $ 的垂直平分线 $ MN $ 交 $ AC $ 点 $ D $.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)连接 $ BD $.若 $ \angle A = 40^{\circ} $,求 $ \angle DBC $ 的度数.

答案：
(1) 作图：用尺规作图作出$AB$的垂直平分线$MN$，交$AC$于点$D$（保留作图痕迹）。
(2)
由于$AB = AC$，根据等腰三角形性质，$\angle ABC = \angle ACB$。
$\angle A = 40^{\circ}$，由三角形内角和为$180^{\circ}$，则$\angle ABC + \angle ACB + \angle A = 180^{\circ}$。
$2\angle ABC = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}$，所以$\angle ABC = 70^{\circ}$。
由于$MN$是$AB$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，$AD = BD$。
因此，$\angle ABD = \angle A = 40^{\circ}$。
$\angle DBC = \angle ABC - \angle ABD = 70^{\circ} - 40^{\circ} = 30^{\circ}$。
综上，$\angle DBC$的度数为$30^{\circ}$。

14. 如图,已知 $ \triangle ABC $ 是等腰直角三角形, $ \angle BAC = 90^{\circ} $, $ BE $ 是 $ \angle ABC $ 的平分线, $ DE \perp BC $,垂足为 $ D $.
(1)请判断 $ AD $ 与 $ BE $ 是否垂直,并说明理由；
(2)如果 $ BC = 10 $,求 $ \triangle DEC $ 的周长.

答案：
(1) 垂直；
(2) 10。