《2025年阳光学业评价八年级数学上册人教版》

3. 如图,在△ABC中,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB.
(1)求证：点P到△ABC三边的距离相等；
(2)连接AP,求证：$S_{△PAB}:S_{△PBC}:S_{△PAC}= AB:BC:AC$.

答案：
(1)
过点$P$作$PD\perp AB$于点$D$，$PE\perp BC$于点$E$，$PF\perp AC$于点$F$。
因为$BP$平分$\angle ABC$，$PD\perp AB$，$PE\perp BC$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$PD = PE$。
同理，因为$CP$平分$\angle ACB$，$PE\perp BC$，$PF\perp AC$，所以$PE = PF$。
所以$PD = PE = PF$，即点$P$到$\triangle ABC$三边的距离相等。
(2)
由
(1)知点$P$到$\triangle ABC$三边的距离相等，设$PD = PE = PF = h$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），可得：
$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}AB\cdot h$，$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}BC\cdot h$，$S_{\triangle PAC}=\frac{1}{2}AC\cdot h$。
所以$S_{\triangle PAB}:S_{\triangle PBC}:S_{\triangle PAC}=\frac{1}{2}AB\cdot h:\frac{1}{2}BC\cdot h:\frac{1}{2}AC\cdot h = AB:BC:AC$。

4. 没有量角器,利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线吗？下面是小彬与小红的做法,他们的画法正确吗？请说明理由.
(1)小彬的做法.

如图1,角的平分线刻度尺画法：
①利用刻度尺在∠AOB的两边上分别取OC= OD；
②连接CD,利用刻度尺画出CD的中点E；
③画射线OE.
则射线OE为∠AOB的平分线.
(2)小红的做法.

如图2,角的平分线三角板画法：
①利用刻度尺在∠AOB的两边上分别取OM= ON；
②分别过M,N画OM,ON的垂线,交点为P；
③画射线OP.
则射线OP为∠AOB的平分线.

答案：
(1) 小彬的做法正确。
在 $\triangle OCE$ 和 $\triangle ODE$ 中，
$OC = OD$，$OE = OE$（公共边），$CE = DE$（$E$ 为 $CD$ 中点），
所以 $\triangle OCE \cong \triangle ODE(SSS)$，
则 $\angle AOE = \angle BOE$，射线 $OE$ 为 $\angle AOB$ 的平分线。
(2) 小红的做法正确。
在 $\triangle OMP$ 和 $\triangle ONP$ 中，
$OM = ON$，$OP = OP$（公共边），
$\angle OMP = \angle ONP = 90^{\circ}$，
所以 $\triangle OMP \cong \triangle ONP(HL)$，
则 $\angle AOP = \angle BOP$，射线 $OP$ 为 $\angle AOB$ 的平分线。