《2025年阳光学业评价八年级数学上册人教版》

6. 如图,现要在△ABC的边AC上确定一点D,使得点D到AB,BC的距离相等.
(1)尺规作图：在图上确定出点D的位置(保留作图痕迹,不写作法)；
(2)若AB= 6,BC= 7,△ABC的面积为24,求点D到AB的距离.

答案：
(1) 作图：作$\angle ABC$的平分线，与$AC$的交点即为点$D$。
(2)
设点$D$到$AB$的距离为$h$。
因为$BD$为$\angle ABC$的角平分线，点$D$到$AB$，$BC$的距离相等，所以点$D$到$BC$的距离也为$h$。
根据$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}$，
已知$S_{\triangle ABC} = 24$，$AB = 6$，$BC = 7$，
由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高）可得：
$\frac{1}{2}×6h+\frac{1}{2}×7h = 24$，
即$\frac{6h + 7h}{2}=24$，
$13h = 48$，
解得$h=\frac{48}{13}$。
所以点$D$到$AB$的距离为$\frac{48}{13}$。

1. 如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,$S_{△ABC}= 7$,DE= 2,AB= 4.
(1)求$S_{△ADC}$；
(2)求AC的长.

答案：
(1)过点$D$作$DF\perp AC$于点$F$。
因为$AD$是$\triangle ABC$中$\angle BAC$的平分线，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以$DF = DE = 2$。
$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE=\frac{1}{2}×4×2 = 4$。
已知$S_{\triangle ABC}=7$，
所以$S_{\triangle ADC}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ABD}=7 - 4=3$。
(2)因为$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}× AC× DF$，$S_{\triangle ADC}=3$，$DF = 2$，
所以$\frac{1}{2}× AC×2 = 3$，
解得$AC = 3$。
综上，
(1)$S_{\triangle ADC}$的值为$3$；
(2)$AC$的长为$3$。

2. 如图,已知∠B= ∠C= 90°,DM平分∠ADC,AM平分∠DAB.
求证：点M是BC的中点.

答案： 过点$M$作$MN\perp AD$于点$N$。
$\because \angle B=\angle C = 90^{\circ}$，$DM$平分$\angle ADC$，$AM$平分$\angle DAB$，$MN\perp AD$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
$\therefore MB = MN$，$MN = MC$。
$\therefore MB = MC$。
所以点$M$是$BC$的中点。