《2025年阳光学业评价八年级数学上册人教版》

6. 先化简,再求值： $ \frac{x^2 - 6x + 9}{x + 1} ÷ \frac{x^2 - 9}{x^2 + x} $,其中 $ x = 4 $。

答案： $\frac{4}{7}$

1. 若分式“ $ \frac{x + 2}{x^2 - \triangle} \cdot \frac{x - 1}{x} $”可以进行约分化简,则“ $ \triangle $”不可以是(B)。
A.$ x $
B.$ 2 $
C.$ 1 $
D.$ 4 $

答案： 【解析】：
要使分式 $\frac{x + 2}{x^2 - \triangle} \cdot \frac{x - 1}{x}$ 可以进行约分化简，分子和分母必须存在公因式。原式可看作 $\frac{(x + 2)(x - 1)}{x(x^2 - \triangle)}$。
分析分母 $x(x^2 - \triangle)$ 和分子 $(x + 2)(x - 1)$ 的公因式：
选项A（$\triangle = x$）：分母为 $x(x^2 - x) = x^2(x - 1)$，与分子 $(x + 2)(x - 1)$ 有公因式 $x - 1$，可以约分。
选项B（$\triangle = 2$）：分母为 $x(x^2 - 2)$，$x^2 - 2$ 无因式与分子公因式，无法约分（除非特殊值，但题目未限定 $x$）。
选项C（$\triangle = 1$）：分母为 $x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)$，与分子有公因式 $x - 1$，可以约分。
选项D（$\triangle = 4$）：分母为 $x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$，与分子有公因式 $x + 2$，可以约分。
题目要求“不可以进行约分”，故选择无法约分的选项B。
【答案】：A（原选项分析有误，正确应为B，根据解析重新核对）
修正后
【答案】：B

2. 下列分式运算正确的是(B)。
A.$ (x + y) ÷ \frac{1}{x + y} = 1 $
B.$ x^2 ÷ \frac{1}{x} ÷ \frac{x^2}{y} = xy $
C.$ 2x^2 \cdot \frac{6}{x^4y} \cdot \frac{x^3}{y} = \frac{8x}{y^2} $
D.$ (2a^2 - 2b^2) ÷ \frac{a + b}{a} = \frac{2a}{a - b} $

答案： B

3. 计算：
(1) $ \frac{3m}{2m + 8} \cdot \frac{m^2 + 8m + 16}{6m^2} $；
(2) $ (x^2 - 5x) ÷ \frac{x - 5}{5x} $。

答案：
(1)
首先，对分子和分母进行因式分解：
$2m + 8 = 2(m + 4)$，
$m^2 + 8m + 16 = (m + 4)^2$，
将原式代入上述因式分解结果，得：
$\frac{3m}{2(m + 4)} \cdot \frac{(m + 4)^2}{6m^2}$
$= \frac{3m \cdot (m + 4)^2}{2(m + 4) \cdot 6m^2}$
$= \frac{m + 4}{4m}$
(2)
首先，将除法转化为乘法，即：
$(x^2 - 5x) ÷ \frac{x - 5}{5x} = (x^2 - 5x) \cdot \frac{5x}{x - 5}$
接着，对$x^2 - 5x$进行因式分解，得：
$x^2 - 5x = x(x - 5)$，
将上述因式分解结果代入原式，得：
$x(x - 5) \cdot \frac{5x}{x - 5}$
$= \frac{x(x - 5) \cdot 5x}{x - 5}$
$= 5x^2$

4. 在一块 $ a $ $ hm^2 $ 的稻田上收割稻谷,如果一台收割机工作,要用 $ m $ 天完成；由于收割机突然坏了,请了 $ b $ 个人一起收割,结果比一台收割机多用了 $ 2 $ 天。一台收割机的工作效率是一个人的工作效率的多少倍?

答案： 设工作总量为单位1（由于涉及比例关系，实际总量可任意设定，这里设为1方便计算）。
一台收割机的工作效率为：
$ \frac{1}{m} $（因为完成a $ hm^2 $ 稻田需要m天，但此处我们设工作总量为单位1，所以效率为$ \frac{1}{m} $，实际效率应乘以a，但在比较比例时a会约去，不影响结果）。
一个人工作（$m+2- （原一台收割机m天完成，现在多人多用了2天） $）天完成的工作量是总工作量的部分，所以一个人的工作效率为：
$ \frac{1}{b(m + 2)} $，
设一台收割机的工作效率是一个人的k倍，则：
$k × \frac{1}{b(m + 2)} = \frac{1}{m}$，
解这个方程，得到：
$k = \frac{b(m + 2)}{m} ÷ \frac{1}{（一台收割机对应1份效率，即k就是求的倍数，所以）} = \frac{b(m + 2)}{m} × （实际应为比例系数，此处直接得出k） = \frac{b(m + 2)}{m} × \frac{1}{（因为前面设总量为1，所以此处比例直接为k）} = \frac{b(m+2)}{m} ÷ （人的效率为\frac{1}{b(m+2)}，所以k即为两者的比值） = \frac{b(m + 2)}{m} × b(m+2)的倒数对应的倍数= \frac{b(m + 2)}{m}（直接得出结果）$，
$k = \frac{b(m + 2)}{m} × \frac{1}{1}（因为比较的是效率倍数，所以直接计算即可） = \frac{b(m + 2)}{m} ÷ （无需再乘，因为前面已经通过比例得出） = \frac{b(m + 2)}{m}$，
简化后得到：
$k = \frac{b(m + 2)}{m}$。
所以，一台收割机的工作效率是一个人的工作效率的$ \frac{b(m + 2)}{m} $倍。